Introdução

Este trabalho oferece a tradução comentada do texto da proclamação pública de um dos muitos problemas matemáticos proposto como desafio à comunidade matemática no século XVII, o 
Problema da Braquistocrone. 

Proposto por Johann  Bernoulli em Janeiro de 1697, o problema da Braquistócrone foi, como muitos outros,  centro de acesas (e nem sempre salutares) discussões entre grandes matemáticos da época. Os resultados e os contributos para o património matemático que esta polémica teve, como em geral muitas outras deste tipo,  revelam a sua inegável importância. O presente caso é a este título eloquente uma vez que o problema da Braquistócrone é tido como uma das origens do cálculo de variações. 

Sabemos que o cálculo de variações é o ramo do cálculo que lida com funções de funções, em oposição ao cálculo comum que lida com funções de variáveis, números ou quantidades. Um dos interesses do cálculo de variações é determinar funções extremais, máximas e mínimas. Ora, na sua mais ínfima concepção, o problema da Braquistócrone consiste em determinar uma curva, leia-se função, que minimiza o tempo, e não a distância, que uma partícula demora de um ponto ao outro no plano (é aliás do significado físico do problema que advém o termo Braquistócrone que dá o nome ao problema proposto e que significa em grego, o mais curto (Brachisto) tempo (Chrone)). 

 Assim se explica que se considere que o cálculo de variações é originário dos papéis de Johann Bernoulli sobre o problema da Braquistócrone. É verdade que Galileu, em 1630-38, e Newton, em 1686, haviam considerado questões que seriam mais tarde reconhecidas como pertencendo ao campo do cálculo de variações. Contudo, às suas pesquisas  terá faltado a necessária generalização, não só na concepção e formulação dos problemas, como também nos métodos de abordagem que desenvolveram, para que se possa considerar que elas constituem a origem desta importante área da matemática.

Pelo contrário, os escritos de Johann  Bernoulli mostram que ele, não só estava consciente das diferenças entre problemas comuns de máximos e minímos e a questão  proposta neste problema, como  percebia com clareza que havia alcançado uma ideia completa, senão mesmo precisa, dos problemas mais simples sobre o cálculo de variações em geral. 

Como era comum, houve uma grande disputa sobre este problema e as suas soluções. Mas foi no contexto polémico do problema da  Braquistócrone que se  produziu muito material significativo para o desbravar desta nova área da matemática.

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Originalmente escrito em latim e publicado na Acta Eruditorium de Leipzig em Junho de 1696, o texto da proclamação foi posteriormente traduzido em diversas línguas. É sobre uma dessas traduções que a nossa própria tradução é realizada, nomeadamente, a tradução do  Dr Lincoln La Paz, feita a partir do original em Latim para o Inglês e publicada no volume editado por D.J. Struik em 1969, Source Book in Mathematics. 1200-1800, Cambridge/Massachusetts: Harvard University Press, pp. 644-655.

Sendo uma tradução sobre uma tradução, é infelizmente certo que terá por isso grandes inconvenientes. Esperamos que esses obstáculos não sejam porém impeditivos do objectivo proposto: clarificar o problema e as suas formulações, compreender as soluções apresentadas por Bernoulli, tomar contacto com a forma como eram apresentados e discutidos os problemas matamáticos na comunidade científica da época, perceber como se fazia investigação matamática nos tempos modernos e como se relacionavam e correspondiam os  principais protagonistas.