I. Temos nomes tradicionais para números até uma miríade (10.000); podemos portanto expressar números até à miríade miríade (100.000.000). Chamemos a estes números, números de primeira ordem.

    Suponha-se que 100.000.000 é a unidade de segunda ordem, e seja a segunda ordem constituída pelos números dessa unidade até (100.000.000)².

    Seja então esta a unidade da terceira ordem dos números terminando com (100.000.000)³ e assim sucessivamente, até chegarmos à ordem 100.000.000 dos números terminando com a que chamaremos P.

    II. Suponhamos que os números de 1 a P da forma atrás descrita formam o primeiro período.

    Seja P a unidade da primeira ordem do segundo período, e sejam estes constituídos pelos números de P até 100.000.000 P.

    Seja o último número a unidade da segunda ordem do segundo período, e que este termine com (100.000.000)² P. 

    Podemos proceder deste modo até atingirmos a ordem 100.000.000 do segundo período terminando com P, ou P². 

  III. Tomando P² como sendo a unidade da primeira ordem do terceiro período, procedemos da mesma forma até chegarmos à ordem 100.000.000 do terceiro período terminando com P³.

    IV. Tomando P³ como sendo a unidade da primeira ordem do quarto período, continuamos o mesmo processo até chegarmos à 100.000.000-ésima ordem do 100.000.000-ésimo período terminando com .

Arquimedes foi um dos pioneiros na construção de um sistema numérico que traduzisse números de grande dimensão. Os gregos utilizavam as 27 letras do alfabeto para representar os números. Com o sistema de Arquimedes, era possível utilizar números até àquele que se escreveria como, 1 seguido de oitenta mil milhões de milhões de algarismos. 
Está aqui implícita uma primeira noção matemática de infinito. 

Se considerarmos o conjunto constituído por todos os números numeráveis e continuarmos indefinidamente a contá-los, aproximamo-nos do infinito. Este conjunto numerável pode começar com o número um, até à última ordem miríade miríade do período miríade miríade utilizado na notação de Arquimedes. 

Arquimedes mostra-nos assim, como podemos caminhar para o infinitamente grande.

O sistema numérico de Arquimedes trouxe um contributo fundamental na criação dos logaritmos - a adição das 'ordens' dos números (o equivalente de seus expoentes quando a base é 100.000.000) corresponde a achar o produto dos números.

, este número é expresso por Arquimedes como "a unidade miríade-miríade da miríade-miriésima ordem do miríade-miriésimo período", que facilmente se vê ser 100.000.000 vezes o produto de por , isto é, (nota do editor).

Para ver esquema detalhado

Considere a série de termos em proporção contínua em que o primeiro termo é 1 e o segundo é 10. O primeiro termo dos oito primeiros termos da série estão de acordo com a primeira ordem do primeiro período como acima foi descrito, o segundo termo dos oito primeiros termos da série estão de acordo com a segunda ordem do primeiro período, o primeiro termo dos oito primeiros termos da série tem como unidade a correspondente ordem em cada caso. Analogamente para o terceiro termo dos oito primeiros termos da série, e assim por diante. podemos, da mesma forma, escolher quaisquer outros oito termos consecutivos da série.