Demonstração 

Seja AB uma dada linha recta.

É requerido construir um triângulo equilátero sobre AB.

Post.3

Post.1

Def. 15

Ax. 1

Def.20

Com o centro em A e raio AB descreva-se o círculo BCD, e com centro em B e raio BA descreva-se o círculo ACE.  

Do ponto C, onde os círculos se cortam reciprocamente, desenhe-se, para os pontos A e B, as rectas CA e CB.

Sendo o ponto A o centro do círculo CDB então AC é igual a AB. E sendo o ponto B o centro do círculo CAE então BC é igual a BA.

Mas foi demonstrado que AC é igual a AB, logo as linhas rectas AC e BC são iguais a AB. E como coisas iguais a uma outra são iguais entre si então AC também é igual a BC. Assim, as três linhas rectas AC, AB e BC são iguais entre si.

Assim, o triângulo ABC, construído sobre a linha recta AB é equilátero.

Q.E.F.