Demonstração
Seja EF uma linha recta que corta as duas linhas rectas paralelas AB e CD.
Digo
que EF faz os ângulos alternados AGH e GHD
iguais, o ângulo externo EGB igual ao ângulo interno oposto GHD,
e a soma dos ângulos internos do mesmo lado, isto é, BGH e GHD, igual a
dois ângulos rectos.
Se
o ângulo AGH não é igual ao ângulo GHD, então um deles é maior. Seja
o ângulo AGH o maior.
Adicione-se
o ângulo BGH a cada um. Então a soma dos ângulos AGH e BGH é maior que
a soma dos ângulos BGH e GHD.
Mas
a soma dos ângulos AGH e BGH é igual a dois ângulos rectos. Portanto a
soma dos ângulos BGH e GHD é menor que dois ângulos rectos.
Mas
linhas rectas produzidas indefinidamente, que fazem ângulos menores que
dois ângulos rectos, concorrem. Logo, AB e CD, se produzidas
indefinidamente, concorrem. Mas elas não concorrem porque são, por hipótese,
paralelas.
Assim,
o ângulo AGH não é desigual ao ângulo GHD, logo é igual.
De
novo, o ângulo AGH é igual ao ângulo EGB. Logo o ângulo EGB também é
igual ao ângulo GHD.
Adicione-se
o ângulo BGH a cada um deles. Então, a soma dos ângulos EGB e BGH é
igual à soma dos ângulos BGH e GHD.
Mas
a soma dos ângulos EGB e BGH é igual a dois ângulos rectos. Portanto a
soma dos ângulos BGH e GHD também é igual a dois ângulos rectos.
Assim,
uma
linha recta que corta duas linhas rectas paralelas faz os ângulos
alternados iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo interno
oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos
rectos.
Q.E.D.
