Demonstração

Sejam ABC e DEF dois triângulos com os dois lados AB e AC iguais aos dois lados DE e DF respectivamente, isto é, AB é igual a DE e AC é igual a DF, e o ângulo BAC igual ao ângulo EDF.

Ax. 4

Ax. 4

Digo que a base BC também é igual à base EF, o triângulo ABC é igual ao triângulo DEF, e os outros ângulos são iguais aos outros ângulos respectivamente, isto é, os que ficam opostos a lados iguais, ou seja, o ângulo ABC é igual ao ângulo DEF e o ângulo ACB é igual ao ângulo DFE.

Se o triângulo ABC é posto sobre o triângulo DEF e se o ponto A é posto sobre o ponto D e as linhas rectas AB sobre a DE então o ponto B também coincide com E porque AB é igual a DE.

De novo, coincidindo AB com DE, a linha recta AC também coincide com DF porque o ângulo BAC é igual ao ângulo EDF. Assim, o ponto C também coincide com F porque AC é igual a DF. 

Mas B também coincide com E, logo a base BC coincide com a base EF e portanto são iguais. 

Assim, todo o triângulo ABC coincide com todo o triângulo DEF e portanto são iguais. 

E os outros ângulos também coincidem com os outros ângulos logo são iguais, o ângulo ABC é igual ao ângulo DEF e o ângulo ACB é igual ao ângulo ao ângulo DFE.

Assim, se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, e se os ângulos compreendidos por esses lados forem também iguais então as bases, os triângulos e os ângulos que são opostos aos lados iguais são também iguais.

 Q.E.D.