Demonstração
No triângulo ABC considere-se o quadrado construído no lado BC igual à soma dos quadrados construídos nos lados BA e AC.
Digo que o ângulo BAC é recto.
Desenhe-se AD a partir do ponto A formando ângulos rectos com a linha
recta AC. Faça-se AD igual a
BA e desenhe-se DC.
Como DA é igual a AB, então o quadrado em DA também é igual ao
quadrado em AB.
Adicione-se o quadrado em AC a cada um.
Então a soma dos quadrados em DA e AC é igual à soma dos
quadrados em BA e AC.
Mas o quadrado em DC é igual à soma dos quadrados em DA e AC, pois o ângulo
DAC é recto, e o quadrado em BC é igual à soma dos quadrados em BA e
AC, por hipótese, logo o quadrado em DC é igual ao quadrado em BC e o
lado DC também é igual a BC.
Como DA é igual a AB, e AC é comum, os dois lados DA e AC são iguais
aos dois lados BA e AC, e a base DC é igual à base BC, logo o ângulo
DAC é igual ao ângulo BAC. Mas
o ângulo DAC é recto, logo ângulo BAC também é recto.
Assim, se num triângulo o quadrado construído sobre um dos lados for
igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois lados do triângulo,
então, o ângulo formado por estes dois lados é recto.
Q.E.D.
