Nesta página poderá consultar a nossa tradução do Livro I de Euclides. 

Para aceder às demonstrações de cada uma das proposições basta clicar sobre a designação de cada uma das proposições. Numa coluna à direita das demonstrações, foram incluídas, a título de guia para o leitor, abreviaturas que se referem às definições, postulados, axiomas e proposições anteriormente demonstradas e que justificam a construção. 

Foram também incluídas figuras ilustrativas que construímos a partir do programa de geometria dinâmica Geometer's SketchPad, utilizando unicamente as ferramentas de Euclides: a régua não graduada e o compasso euclideano. 

Definições

Definição 1
Um ponto é o que não tem partes.

Definição 2
Uma linha é o que tem comprimento sem largura.

Definição 3
As extremidades de uma linha são pontos. 

Definição 4
Uma linha recta é uma linha que assenta igualmente entre as suas extremidades.

Definição 5
Uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura.

Definição 6
As extremidades de uma superfície são linhas.

Definição 7
Uma superfície plana é uma superfície sobre a qual assenta toda a linha recta entre dois pontos quaisquer da superfície.

Definição 8
Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas que se tocam numa superfície plana e que não fazem parte da mesma linha recta.

Definição 9
E quando as linhas que contêm o ângulo são linhas rectas, o ângulo chama-se rectilíneo.

Definição 10
Quando uma linha recta, incidindo com outra linha recta, fizer com esta dois ângulos adjacentes iguais, cada um desses ângulos é recto, e a linha recta incidente diz-se perpendicular à linha com a qual incide.

Definição 11
Um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo recto.

Definição. 12
Um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo recto.

Definição 13  
Uma fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.

Definição 14
Uma figura é aquilo que está contido por uma ou mais fronteiras.

Definição 15
Um círculo é uma figura plana fechada por uma só linha de forma que todas as linhas rectas, que de um ponto existente no meio da figura se conduzem para a circunferência, são iguais entre si.

Definição 16
E o ponto chama-se centro do círculo.

Definição 17
O diâmetro do círculo é uma linha recta que passa pelo centro e termina, em ambas as direcções, na circunferência e tal linha também bissecta o círculo.

Definição 18
Um semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e a circunferência que é cortada pelo diâmetro.  E o centro do semicírculo é o mesmo que o do círculo.

Definição 19
Figuras rectilíneas são as que são formadas por linhas rectas,  sendo as figuras triláteras as que são formadas por três linhas rectas, as quadriláteras as que são formadas por quatro linhas rectas, e as multiláteras as que são formadas por mais de quatro linhas rectas.

Definição 20
Das figuras triláteras, o triângulo equilátero é a que tem três lados iguais, o triângulo isósceles a que tem dois lados iguais e o triângulo escaleno a que tem os três lados desiguais.

Definição 21
Das figuras triláteras, o triângulo rectângulo é a que tem um ângulo recto, o triângulo obtusângulo é a que tem um ângulo obtuso e o triângulo acutângulo é a que tem todos os ângulos agudos.

Definição 22
Das figuras quadriláteras, o quadrado é a que é simultaneamente equilátera e rectângula;  o oblongo é a que é rectângula mas não é equilátera;  o rombo é uma figura equilátera mas não rectângula; e o romboide é a que, tendo os lados e ângulos opostos iguais, não é nem equilátera nem rectângula.  E todas as outras figuras quadriláteras se chamam trapézios.

Definição 23
Linhas rectas paralelas são linhas rectas que, estando na mesma superfície plana e sendo estendidas indefinidamente em ambas as direcções, nunca se chegam a tocar.

Postulados

Postulado 1
(É possível) desenhar uma linha recta de qualquer ponto para qualquer ponto.

Postulado 2
(É possível) produzir uma linha recta finita continuamente numa linha recta.

Postulado 3
(É possível) descrever um círculo com qualquer raio e centro.

Postulado 4
Todos os ângulos rectos são iguais.

Postulado 5
Se uma linha recta, encontrando-se com outras duas linhas rectas, fizer os ângulos internos da mesma parte menores que dois ângulos rectos, então estas duas rectas, produzidas indefinidamente, encontrar-se-ão no lado no qual os ângulos são menores que dois ângulos rectos.

Axiomas

Axioma 1
Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si.

Axioma 2
Se iguais forem somados a iguais, então os todos são iguais.

Axioma 3
Se iguais forem subtraídos  a iguais então os restos são iguais.

Axioma 4
Coisas que coincidem umas com outras são iguais entre si.

Axioma 5
O todo é maior que a parte.

Proposições

Proposição 1
(É possível) construir um triângulo equilátero a partir de uma dada linha recta finita.

Proposição 2
(É possível) traçar uma linha recta igual a uma dada linha recta com extremidade num dado ponto.

Proposição 3
(É possível) dadas duas linhas rectas desiguais, obter da linha recta maior uma parte igual à linha recta menor.

Proposição 4
Se dois triângulos têm dois lados iguais a outros dois lados respectivamente, e se os ângulos compreendidos por esses lados forem também iguais, então, as bases, os triângulos e os ângulos que são opostos aos lados iguais, também são iguais.

Proposição 5
Em triângulos isósceles os ângulos da base são iguais e, se as linhas rectas iguais forem produzidas, então, os ângulos que se formam debaixo da base são iguais.

Proposição 6
Se num triângulo dois ângulos são iguais, então, os lados opostos aos ângulos iguais são também iguais.

Proposição 7
Dadas duas linhas rectas que se intersectam num dado ponto, construídas a partir das extremidades de uma outra linha recta, não podem ser construídas outras duas linhas rectas, a partir das extremidades da mesma linha recta e do mesmo lado desta, que se intersectem num outro ponto e que sejam iguais às duas primeiras linhas rectas construídas a partir da mesma extremidade respectivamente.

Proposição 8
Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, e bases também iguais, então também os ângulos formados pela linhas rectas iguais são iguais.

Proposição 9
(É possível) bissectar um dado ângulo recto.

Proposição 10
(É possível) bissectar uma dada linha recta finita.

Proposição 11
(É possível) traçar uma linha recta que passe por um ponto contido numa outra linha recta e que faça com esta um ângulo recto.

Proposição 12
(É possível) traçar uma linha recta perpendicular a uma dada linha recta infinita e que passe por um ponto exterior a esta.

Proposição 13
Se uma linha recta cortar outra linha recta, então, esta faz dois ângulos rectos ou ângulos cuja soma é igual a dois ângulos rectos.

Proposição 14
Se em alguma linha recta, e num ponto desta, houver duas linhas rectas que não estão do mesmo lado e cuja soma dos ângulos adjacentes é igual a dois ângulos rectos, então, as duas linhas rectas estão contidas numa única linha recta.

Proposição 15
Se duas linhas rectas se intersectam, então, os ângulos verticalmente opostos são iguais entre si.

Corolário
Se duas linhas rectas se intersectam, então a soma dos ângulos que fazem no ponto de intersecção é igual a quatro ângulos rectos.

Proposição 16
Em qualquer triângulo, se um dos lados for produzido, então o ângulo externo é maior que cada um dos ângulos interno e oposto.

Proposição 17
Em qualquer triângulo a soma de quaisquer dois ângulos é menor que dois ângulos rectos.

Proposição 18
Em qualquer triângulo o ângulo oposto ao maior lado é o maior ângulo.

Proposição 19
Em qualquer triângulo o lado oposto ao maior ângulo é o maior lado.

Proposição 20
Em qualquer triângulo a soma de quaisquer dois lados é maior que o outro lado.

Proposição 21
Se a partir das extremidades de um dos lados de um triângulo forem construídas duas linhas rectas que se intersectam dentro do triângulo, então, a soma das linhas rectas construídas é menor que a soma dos outros dois lados do triângulo, mas as linhas rectas construídas fazem um ângulo maior que o ângulo feito pelos dois lados restantes do triângulo.

Proposição 22
(É possível) construir um triângulo a partir de três linhas rectas que são iguais a três linhas rectas dadas, sendo necessário que a soma de duas das linhas rectas seja maior que a restante linha.

Proposição 23
(É possível) construir um ângulo rectilíneo igual a um dado ângulo rectilíneo numa linha recta e em um ponto desta.

Proposição 24
Se dois triângulos têm dois lados iguais respectivamente, mas têm um dos ângulos formado pelas linhas rectas iguais maior que o outro, então, também têm a base uma maior que a outra.

Proposição 25
Se dois triângulos têm dois lados iguais a dois lados respectivamente, mas a base de um triângulo é maior que a base do outro, então, também têm um dos ângulos formados pelas linha rectas iguais maior que o outro.

Proposição 26
Se dois triângulos têm dois ângulos iguais a dois ângulos respectivamente, e um lado igual a outro lado, quer estes lados sejam adjacentes ou opostos a ângulos iguais, então, os outros dois lados dos triângulos são iguais e o outro ângulo é igual ao outro ângulo.

Proposição 27
Se uma linha recta, cortando outras duas linhas rectas, fizer os ângulos alternados iguais, então, as linhas rectas são paralelas entre si.

Proposição 28
Se uma linha recta cortar outras duas e fizer o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto do mesmo lado, ou se a soma dos ângulos internos no mesmo lado for igual a dois ângulos rectos, então, as linhas rectas são paralelas entre si.

Proposição 29
Uma linha recta que corta duas linhas rectas paralelas faz os ângulos alternados iguais entre si, o ângulo externo igual ao ângulo interno oposto e a soma dos ângulos internos do mesmo lado igual a dois ângulos rectos.

Proposição 30
Linhas rectas paralelas a uma mesma linha recta são também paralelas entre si.

Proposição 31
(É possível) de um ponto dado construir uma linha recta paralela a uma linha recta dada.

Proposição 32
Em todo o triângulo, se um dos lados é produzido, então, o ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos, e a soma dos três ângulos internos do triângulo é igual a dois ângulos rectos.

Proposição 33
Linhas rectas que unem as extremidades de duas linhas rectas na mesma direcção são iguais e paralelas.

Proposição 34
Em áreas paralelogramicas, os lados e os ângulos opostos são iguais entre si e o diâmetro bissecta a área.

Proposição 35
Os paralelogramos que estão na mesma base e nas mesmas paralelas são iguais entre si.

Proposição 36
Os paralelogramos que estão em bases iguais e nas mesmas paralelas são iguais entre si.

Proposição 37
Os triângulos que estão na mesma base e nas mesmas paralelas são iguais entre si.

Proposição 38
Os triângulos que estão em bases iguais e nas mesmas paralelas são iguais entre si.

Proposição 39
Os triângulos iguais que estão na mesma base e no mesmo lado também estão nas mesmas paralelas.

Proposição 40
Os triângulos iguais que estão em bases iguais e no mesmo lado também estão nas mesmas paralelas.

Proposição 41
Se um paralelogramo e um triângulo tiverem a mesma base e estiverem nas mesmas paralelas, então, o paralelogramo é o dobro do triângulo.

Proposição 42
(É possível) construir um paralelogramo igual a um triângulo dado em um dado ângulo rectilíneo.

Proposição 43
Em qualquer paralelogramo, os complementos dos paralelogramos ao redor do diâmetro são iguais entre si.  

Proposição 44
(É possível) sobre uma linha recta dada e num ângulo rectilíneo dado, construir um paralelogramo igual a um dado triângulo.

Proposição 45
(É possível) construir um paralelogramo igual a uma dada figura rectilínea num dado ângulo rectilíneo.

Proposição 46
(É possível) descrever um quadrado sobre uma linha recta dada.

Proposição 47
Em triângulos rectângulos, o quadrado construído sobre o lado oposto ao ângulo recto é igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros lados que fazem o ângulo recto.

Proposição 48
Se num triângulo, o quadrado construído sobre um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os outros dois lados do triângulo, então, o ângulo formado por estes dois lados é recto.