Quando a axiomática estava no seu começo, a lógica parecia ainda detentora de uma situação privilegiada. Uma teoria axiomatizada retirava aos termos e aos postulados em que se baseava a sua significação e a sua verdade usuais. Mas, para essa elaboração, servia-se de teorias cuja verdade e sentido eram pressupostos. E a lógica era o ponto de partida, anterior a todas essas teorias prévias.

        É certo que a lógica estava em vias de se axiomatizar, uma vez que se apresentava, principalmente com os trabalhos de Frege e a grande síntese de Russell e Whitehead, como um sistema dedutivo no qual os termos primeiros e as proposições primeiras eram explicitamente formuladas. Só que a lógica ainda não passava, se assim se pode dizer, de uma axiomática concreta. Os termos conservavam mais ou menos a sua acepção habitual, simplesmente precisada pelas relações enunciadas pelos postulados, sendo estes pensados como verdadeiros axiomas, simultaneamente, proposições primeiras e evidências intelectuais. Propondo-se basear na lógica a aritmética e, por intermédio desta, basear na lógica todo o edifício da matemática, o "logicismo" de Frege e de Russell tinha portanto em vista mais do que continuar o movimento de recuo em direcção aos princípios: pensava levá-lo ao seu termo, até ao fundamento lógico último.

        Os termos primeiros da axiomática de Peano eram relativamente indeterminados, comportando uma pluralidade de interpretações. As proposições primeiras enfermavam da mesma indeterminação. Definindo esses termos, até aí essencialmente variáveis, por meio de constantes lógicas concebidas como outras tantas essências intemporais; demonstrando esses postulados, até aí independentes do verdadeiro e do falso, por intermédio de princípios lógicos concebidos como outros tantos axiomas que se impunham ao pensamento de forma absoluta, Russell pretendia dotar os princípios da matemática, e a partir deles toda a dedução subsequente, de um sentido e de uma verdade absolutos. A matemática deixaria de ser aquela ciência em que, como Russell gostava de dizer,  nunca se sabe do que se está a falar nem se aquilo que se está a dizer é verdadeiro ou não, para se tornar numa disciplina categórico-dedutiva à maneira da lógica, da qual extraía a sua substância.

        Mas o crepúsculo das evidências, que havia já contaminado o edifício da Matemática, não tardaria a contagiar também a lógica. Já o facto de terem surgido, com a teoria dos conjuntos, antinomias cuja origem tinha inegavelmente de ser procurada ao nível da lógica, o desacordo profundo que se manifestara relativamente à validade deste ou daquele dos seus princípios, tinham começado a abalar a ideia de uma legislação lógica absoluta, única e universal.

        Não é pois de estranhar que, em 1920, se tenha passado em relação à lógica o que se passara, uma dezena de anos antes, em relação à geometria. Assim como a geometria clássica tinha deixado de ser a única com o aparecimento das geometrias não-euclideanas e, posteriormente, tinha deixado de ser intuitiva com a formulação axiomática, também agora a lógica se pluraliza e se axiomatiza. Era inevitável que a lógica evoluísse também no sentido de uma axiomática abstracta.

        A analogia com o caso da geometria acaba porém neste ponto essencial. A verdade é que se a lógica já não dispõe de ciências anteriores nas quais possamos apoiar-nos para a construir como axiomática formal. Pelo contrário, é a lógica que é indispensável para regular as operações da axiomática.

        As vantagens do método axiomático são manifestas: este método é um precioso instrumento de abstracção e de análise.

        Estas vantagens não podem no entanto ocultar-nos os seus limites. O método axiomático propõe excluir a intuição para lhe substituir, não o raciocínio, não o cálculo mas - como antecipadamente Leibniz compreendeu - o manuseamento "cego" de símbolos.

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