Círculo Trigonométrico

  Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.

  Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica.

  Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-rectas OA e OB, o par (OA,OB) define um ângulo.

  O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-rectas OA e OB são, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade.

  Há dois sentidos de percurso num círculo:

   Ângulo positivo (ou directo) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

   Ângulo negativo (ou indirecto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.

  A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então ângulo orientado.

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

  P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico.

    O seno de a  é a ordenada do ponto P.

    O co-seno de a  é a abcissa do ponto P.

    C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das tangentes.

    A tangente de a é a ordenada do ponto C.

    D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes.

   A co-tangente de a é a abcissa do ponto C.

Enquadramento de seno e do co-seno

  O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico.

    Para todo o a,

    Para todo o a,

Redução ao 1º quadrante

  Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações trigonométricas de certos ângulos.

Ângulos do 1ª Quadrante

Ângulos Complementares: a e  90°- a 

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a 90-a, são simétricos em relação à recta de equação y = x. 

    Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é, 

Ângulos do 2º Quadrante

Ângulos que diferem de 90°: a e  90° + a

  A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P, isto é,

    Ângulos Suplementares: a e  180° - a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e 180°- a, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,  

Ângulos do 3º Quadrante

Ângulos que diferem de 180º: a e  180° + a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a a e a  180° + a, são simétricos em relação a O.

    Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é, 

 Ângulos que somados valem 270º: a e 270º - a

Ângulos do 4º Quadrante

Ângulos que diferem de 270º:  a e 270º + a

Ângulos Simétricos: a e -a

  Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a e -a, são simétricos em relação ao eixo das abcissas.

    Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é, 

    OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja a amplitude a do ângulo (em graus ou radianos).

    Valores de algumas razões trigonométricas:

Fórmulas Trigonométricas

Fórmula Fundamental

Fórmulas Secundárias

Fórmulas de Adição

Fórmulas de Duplicação

Fórmulas de Bissecção

Fórmulas de Transformação

OBS.: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tomarem valores nulos.