Triângulo de Pitágoras

   Pitágoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grécia.

   Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão da harmonia do universo, que se baseava nos números e nas fórmulas de matemática abstracta. Assim, Pitágoras desejava encontrar a "harmonia matemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos os ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos rectos.

  Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinha sido descoberto? É verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiu provar matematicamente.

   Pitágoras descobriu uma propriedade importante para o triângulo rectângulo (triângulo que contém um ângulo de 90º).

   Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo rectângulo: catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º e hipotenusa é o lado oposto a esse mesmo ângulo.                                       

c = hipotenusa a = cateto b = cateto

   Teorema de Pitágoras: num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.     

c² = a² + b²

    Vamos agora demonstrar o Teorema de Pitágoras.

    O que se pretende demonstrar é que: dado um triângulo rectângulo de catetos a e b e hipotenusa c (HIPÓTESE) temos c² = a² + b².

    Consideremos um quadrado de lado a + b. 

    O quadrilátero [ABCD] que se obtém unindo os pontos A, B, C e D é um quadrado, já que:

• os lados são todos iguais a c pois, como se pode ver, eles são as hipotenusas de triângulos rectângulos iguais (os 4 triângulos que se obtêm ao fazermos esta decomposição são iguais pelo caso LAL).

• os ângulos são todos rectos. Observando a figura seguinte podemos chegar a essa conclusão, visto que os ângulos 1 e 2 são complementares. Os ângulos 1 e 3 têm a mesma amplitude, visto que entre ângulos geometricamente iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, o ângulo 4 mede 90º.

    Façamos agora outra decomposição do quadrado de lado a + b. Nesta decomposição obtemos também 4 triângulos rectângulos de catetos a e b e hipotenusa c.

   Se retirarmos o que é igual às duas decomposições que fizemos do quadrado de lado a + b, obtemos:

    As áreas destas duas figuras têm de ser iguais, já que, elas resultam de decomposições do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais. 

    Logo, c² = a² + b², como queríamos demonstrar.

   Repara no seguinte exemplo:

      Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado do cateto que mede 4 é igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5:

                                        3² + 4² = 5²

   Nunca te esqueças que o Teorema de Pitágoras só é aplicado ao triângulo rectângulo.    

    No espaço, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da diagonal de um paralelepípedo rectângulo é igual à soma dos quadrados das três dimensões das arestas.