POLINÓMIOS

    Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a expressão do tipo

a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^{n -1} + ... + a _n-1 x + a _n

em que n Î IN₀  e a _1, a _{2 , ...,}  a _n-1, a _n Î Â.

  a ₀ x ⁿ, a ₁ x ^n-1, ..., a _n-1 x , a _n   Termos

a ₀, a _{1, ...,} a _n-1, a _n   Coeficientes

 a _n    Termo independente

Observação:

 Se o maior dos expoentes da variável x de coeficiente não nulo é k, então o grau do polinómio na variável x é k.

   Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais os coeficientes dos termos do mesmo grau. 

  Denominam-se de termos semelhantes aos termos do mesmo grau.   

 Um polinómio diz-se completo quando, desde o termo de maior grau estão todos os termos até ao termo independente.

Ex.1)  0 x 5 + 3 x 2 + x + 1	Tem grau 2 e é completo;
Ex.2)  3 x 4 + 2 x 2 + 3 x +1	Tem grau 4, é incompleto porque tem nulo o coeficiente do termo em    x 3;
Ex.3)  0 x 2 + 0 x + 1	Tem os coeficientes todos nulos, é um polinómio nulo e tem grau indeterminado.

 POLINÓMIOS ESPECIAIS:

OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS

  ADIÇÃO

Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.

Ex. (3x² + x + 1) + (5x² + 3) =

= 3x² + x + 1 + 5x² + 3

          = 3x² + 5x² + x + 1 + 3

          = 8x² + x + 4

SUBTRACÇÃO

Para subtrair dois números adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.

Ex. (3x² + x + 1) - ( 5x² + 3x) =

= 3x² + x +1 - 5x² - 3x

          = 3x²- 5x² + x -3x +1

          = -2x² - 2x +1

  MULTIPLICAÇÃO

Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.

Ex. (5x² + 3) . (3x² + x + 1) =

= 15x⁴ + 5x³ + 5x² + 9x² + 3x + 3

= 15x⁴ + 5x³ + 14x² + 3x + 3

CASOS NOTÁVEIS     A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo. No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e com variadas aplicações em Matemática e que nos merecem especial atenção: o quadrado do binómio e a diferença de quadrados.     Estes casos são conhecidos como casos notáveis de multiplicação de polinómios.

  DIVISÃO INTEIRA 

Recorde que:

No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um número natural q (quociente) e um número natural r (resto), tais que:

D = d . q + r      

Ex.        D = 20, d = 5, q = 4, r = 0                               20 = 5 . 4    20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de 20.

Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios é diferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN, 

D(x) = d(x) . q(x) + r(x), em que 

D(x) polinómio dividendo

d(x)  polinómio divisor

q(x)  polinómio quociente

 r(x)  polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisor

  EXEMPLO 1:

(-6x³+3x²+2) : (2x²+1)

	Começa-se por escrever ordenadamente, o dividendo e o divisor segundo  as potências decrescentes de x, escrevendo também os termos nulos do dividendo.
	Dividam-se os termos  de maior grau de dividendo e o divisor   -6x3 : 2x2 = -3x . O resultado é o termo de maior grau do quociente.
	Multiplica-se o divisor pelo termo de maior grau do quociente, escreve-se o simétrico desse produto e adiciona-se ao dividendo, obtendo assim o resto parcial.
	Divide-se o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor.            3x2 : 2x2 = 3/2 o resultado é o segundo termo do quociente. Repete-se, em seguida, todo o processo.

  O grau do quociente é a diferença entre o grau do dividendo e o grau doo divisor. A divisão terminou porque o resto obtido tem grau inferior ao grau do divisor . Logo, pode-se escrever :

              -6x³ + 3x² + 2 =  ( 2x² + 1 ) . ( -3x + 3/2 ) + ( 3x + ½ )

                     D(x)                 d(x)                 q(x)              r(x)

Quando o polinómio r(x) é nulo, ou seja, D(x) = d(x) . q(x) 
então a divisão inteira dos polinómios D(x) e d(x) é denominada  exacta. Diz-se que o dividendo D(x) é múltiplo do divisor d(x).
Efectuemos assim a seguinte divisão:

  EXEMPLO 2:

   (2x³ - 60x² + 450x -500) : (x -10)

       EXEMPLO 3:

 Determinar  o quociente e o resto da divisão do polinómio 

A(x) = 2x³ + 3x² + x – 5 por B(x) = 2x² – 1  

Para resolver este problema usa-se outro método, conhecido pelo método dos coeficientes indeterminados.

           O quociente q(x), será do primeiro grau e o grau do resto, 

           r(x) não pode exceder o primeiro grau.

          Então:

           q(x) = ax + b    e   r(x) = cx + d ; 

com  a, b, c Î IR  e  a ¹ 0  

            Como  A(x) = B(x) . q(x) + r(x), vem:

REGRA DE RUFFINI

    No desenvolvimento do cálculo algébrico verifica-se que tinha particular interesse na divisão de polinómios o caso em que o divisor era um polinómio do tipo   x – α .

    Deve-se a Ruffini um processo prático para determinação do quociente e do resto da divisão inteira para o caso acima referido. A rapidez do método baseia-se numa forma de disposição dos números envolvidos no cálculo.

    Para compreender melhor esta disposição vamos usar um exemplo:

      EXEMPLO:

Seja D(x) = 3x⁴ - 4x³ + 2x²  - 3x + 1   e   d(x) = x -2  
Como o dividendo é um polinómio do 4º grau e o divisor do 1º grau, vamos obter como quociente q(x) um polinómio do 3º grau e o resto r(x) terá grau zero.

Utilizando o algoritmo da divisão obtém-se

  EXEMPLO:  

    Obtemos assim q(x) = 3x³ + 2x²  + 6x + 9  e  r(x) = 19
donde resulta que
    3x⁴ - 4x³ + 2x² - 3x + 1 = (x-2) . (3x³ + 2x² + 6x + 9) + 19  
 

    A regra de Ruffini pode generalizar-se à divisão do polinómio P(x) de grau n por um binómio do tipo x-α.  
    Se for P(x) = a₀ xⁿ + a₁  x^n-1 + a₂ x^n-2 + ... + a_n-1 x + a_n , 
a regra de Ruffini assume o seguinte aspecto: