EQUAÇÕES  

 

*DEFINIÇÕES:

     Uma equação é uma igualdade onde figura sempre, pelo menos, uma letra.                                          

    Raiz ou solução de uma equação é um número que, colocado no lugar da   incógnita, transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira (proposição verdadeira).

     Duas equações são equivalentes quando as soluções da primeira são soluções da segunda e vice-versa.

     Obtemos uma equação equivalente quando passamos um termo de um membro para outro desde que se lhe troque o sinal.

    Obtemos uma equação equivalente quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.

                                                                 

 

              

DIFERENTES TIPOS DE EQUAÇÃO SEGUNDO  O GRAU DO POLINÓMIO

 

EQUAÇÕES DE 1º GRAU

ax +b

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

ax2 + bx +c 

EQUAÇÕES DE GRAU SUPERIOR A DOIS axn + axn-1+ ... + ax2 + ax + a = 0

 

 

 

EQUAÇÕES DE 1º GRAU   

 

Conta a lenda que um discípulo de Pitágoras lhe perguntou quantos alunos tinha a sua Escola.

   Pitágoras respondeu-lhe:

  

   “Metade estudam Geometria, a quarta parte a Natureza, a sétima parte meditam simplesmente e há ainda três mulheres.”

 

Quantos alunos tinha a Escola de Pitágoras?

  

   Para responder a esta pergunta vamos utilizar uma equação do 1º grau:

   Na equação    

                                      x  =  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Temos:

   Incógnita:  x

   1º membro:  x

   2º membro:  x/2  +  x/4  +  x/7  +  3

   Quatro termos com a incógnita:  x  ;  x/2  ;  x/4  ;  x/7

   Um termo independente:  3

 

   Sabemos que, por exemplo::

 

         80 não é solução da equação, porque

                  80 = 80/2 + 80/4 + 80/7 + 3       PROPOSIÇÃO FALSA

         28 é solução da equação, porque

                  28 = 28/2 + 28/4 + 28/7 + 3        PROPOSIÇÃO VERDADEIRA   

   

        

    EQUAÇÕES LITERAIS

          Chama-se equação literal a uma equação onde aparecem uma ou mais letras para além da incógnita.

           Para resolver uma equação literal, decide-se qual é a incógnita e consideram-se as outras letras como se fossem números conhecidos (parâmetros).

           Ex.   Considere um rectângulo de dimensões x e y e escreva uma formula para:

  • determinar o perímetro p, conhecidos x e y;
  • determinar x, conhecidos p e y.
           Resolução:  
  • A fórmula p = 2x + 2y permite determinar o perímetro p, conhecidos x e y.
  • Para determinar x, conhecidos p e y, partimos da equação   p = 2x + 2y e resolvemo-la em ordem a x, isto é, consideramos x como incógnita.

    p= 2x + 2y Û - 2x = - p + 2y Û  2x = p – 2y Û
                               

 

 

 

EQUAÇÕES DE 2º GRAU   

 

* DEFINIÇÕES:

        

         *  As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma 
                ax2 + bx +  c = 0, em que a, b e c são números reais e a ¹ 0.

                      a é o coeficiente de x2

                      b é o coeficiente de x e c é o termo independente.

 

                    * Uma equação diz-se completa se  b e c são diferentes de zero;

                          caso contrário, temos uma equação incompletas.

                        

                    * Quando uma equação do 2º grau tem a forma ax2 + bx + c = 0,

                          diz-se que está na forma canónica.     

 

 

   EQUAÇÕES COMPLETAS   
      
      Como foi referido temos uma equação completa se b e c são diferentes de zero. Este tipo de equação resolve-se através da fórmula resolvente, que permite obter, mais rapidamente as soluções de qualquer equação do 2º grau.
      Vamos deduzir a formula resolvente, a partir da equação 
           
ax2 + bx + c = 0,    a ¹ 0

 
             
         
      A resolução desta equação conduziu-nos à FÓRMULA RESOLVENTE DAS EQUAÇÕES DE 2º GRAU:

                                    

      

 

          É chamado o binómio discriminante. Sendo muito útil para 
                                         determinarmos quantas soluções têm as equações de 2º grau.
A equação não tem soluções reais.  
A equação tem uma só solução real.  
* A equação tem duas soluções reais.  

 

 

 

  EQUAÇÕES INCOMPLETAS  

 

  Uma equação do 2º grau será incompleta se se verificar um dos três casos 
como possíveis.

                  

EQUAÇÕES INCOMPLETAS  ax2 = 0   com  b = 0  e c = 0
                                                     
ax2 + c = 0 com  b = 0
                                                     
ax2 + bx = 0  com  c = 0

  Caso em que b = 0 e c = 0

Consideremos a equação    2x2 = 0 Û
                                      Û
x = 0 Û
                                      Û
x  = 0 

Caso em que b = 0

         Por exemplo a equação      3x2 - 12 = 0
Û
                                             
Û 3x2 =12 Û
                                              Û  
x2 = 12/3 Û
                                              Û  
x2 = 4 Û
                                              Û
  x = 2 ٧ x = -2


Caso em que c = 0

Consideremos a equação  3x2 + 7x = 0.
Para resolvermos esta equação temos de aplicar a lei do anulamento do produto.

   LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO

     
 
Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos seus factores é nulo.
        Simbolicamente:
             ab = 0 Û a = 0 ٧ b = 0
             abc = 0
Û
a = 0 ٧ b = 0 ٧ c = 0
             ...

Pomos x em evidência e aplicamos a lei do anulamento do produto:
                     x (3x + 7) = 0 Û x = 0 ٧ 3x + 7 = 0 Û x= 0 ٧ x = -7/3

 

EQUAÇÕES DE 3º GRAU
      

As equações de 3º grau ou equações cúbicas são da forma:

                   
   ax3 + bx2 + cx + d = 0,   
a ¹ 0

  •  a é o coeficiente de x3

  •  b é o coeficiente de x2

  •  c é o coeficiente de x

  •  d é o termo independente

Vamos ver os vários casos possíveis de resolução:

CASOS POSSÍVEIS MODOS DE RESOLUÇÃO
d = 0         ax3 + bx2 + cx = 0
  • põe-se x em evidência;
  • lei do anulamento do produto;
  • formula resolvente.
c = 0          ax3 + bx2 + d = 0
  • regra de Ruffini;
  • formula resolvente.
b = 0          ax3 + cx + d = 0
  • regra de Ruffini;
  • formula resolvente. 
b = 0 
       c = 0          ax3 + d = 0
  • resolve-se da forma usual.
b = 0
      d = 0           ax3 + cx = 0
  • põe-se x em evidência;
  • lei do anulamento do produto;
  • se c > 0 então a equação é impossível
    e se c < 0 então a equação tem duas soluções.
c = 0
     d = 0            ax3 + bx2 = 0
  • põe-se x2 em evidência;
  • lei do anulamento do produto;
  • resolve-se da forma usual.
b = 0
      c = 0
      d = 0            ax3 = 0
  • resolve-se da forma usual.
b, c, d ¹ 0   ax3 + bx2 + cx + d = 0
  • regra de Ruffini;
  • lei do anulamento do produto;
  • fórmula resolvente.