HISTÓRIA  

Diofanto, que se admite ter vivido na segunda metade do séc. III a.C. , foi o mais importante de todos os algebristas gregos. Pouco se sabe sobre a sua vida, por isso até se desconhece o século onde viveu. Por uns versos encontrados no seu túmulo, escritos em forma de um enigmático problema, deduz-se que viveu 84 anos:

"Caminhante! 
Este é o túmulo de Diofanto.
Os números dirão a duração da sua vida, cuja sexta parte foi ocupada por uma doce juventude.
Decorreu mais uma duodécima parte da sua vida até que o seu rosto se cobriu de pelos.
Passou ainda um sétimo da vida antes de tomar esposa e cinco anos depois teve um belo filho que infelizmente, viveu apenas metade do que o pai viveu.
Seu pai sobreviveu-lhe, chorando, quatro anos.
Diz caminhante quantos anos tinha Diofanto quando a morte o levou?" 

Este matemático está ligado à cidade que foi o maior centro de actividade matemática na Grécia antiga, Alexandria. A época em que possivelmente Diofanto viveu denomina-se "segunda idade Alexandrina", conhecida por sua vez por "época de prata" da matemática grega. O principal tratado de Diofanto conhecido, e que ao que parece, só em parte chegou até nós, é a "Arithmetica".  

Introduziu inovações no campo das equações de 1º e 2º graus, deduziu numerosas fórmulas gerais e indicou métodos para resolver equações lineares e quadráticas. 
Os problemas Diofantinos são de grande variedade e as suas soluções são altamente engenhosas. A "análise Diofantina"  consiste em encontrar respostas para equações indeterminadas do tipo: 
ax2 + bx = c;
ax2 = bx + c;
ax2 + c = bx;

Para Diofanto as soluções irracionais eram "impossíveis", ele seleccionava os seus coeficientes para obter a solução racional positiva que procurava.
Com Diofanto foram alcançados questões aritméticas de uma natureza algébrica definida, mas também uma notação algébrica bem desenvolvida que conduziu à solução de problemas de maior complexidade, como nunca tinham sido colocadas anteriormente. 

Convertendo-se assim no fundador da Álgebra e Cálculo Simbólico, tal como se faz hoje em dia.

 

A origem da Álgebra está ligada à civilização árabe.
No séc. IX, no tempo do sultão de Bagdade que aparece referido nas "Mil e uma noites", viveu em Bagdade o maior matemático da época         Al-Khwarizmi, que escreveu o primeiro tratado de Álgebra.
Al-Khwarizmi utilizava a expressão "a coisa" para designar a incógnita. Na Europa, a Álgebra chegou a chamar-se a arte da coisa e a sua divulgação deu-se no séc. XII.
No séc. XII, Khayyam, um matemático Perso-árabe abordou a solução das equações do 3º grau mediante a intersecção de cónicas. As equações do 3º e 4º grau foram resolvidas posteriormente, pelos matemáticos italianos.
Os chineses deram importância ao estudo das equações. Tsu Chung Chin, no ano de 450 a.C., utilizava a resolução de equações de 2º grau para  problemas de áreas e inventários.
Um clássico da matemática chinesa, designado por Jiu zhang suan-shu ou Nove Capítulos da Arte Matemática, consiste  num conjunto de problemas com regras gerais para a sua solução e tem um caracter de cálculo aritmético, conduzem a equações algébricas com coeficientes numéricos. 		 
Takakazu Seki Kowa nasceu em 1642 em Fujioka (Japão). Seki foi um "menino prodígio" em Matemática. Ele aprendeu matemática sozinho e construiu uma biblioteca de livros japoneses e chineses sobre Matemática. Foi conhecido como "o sábio aritmético". 
Em 1674 Seki publicou Hatsubi Sampo, onde resolveu quinze problemas.
O trabalho é notável pela análise cuidadosa dos problemas que Seki fez e esta era certamente uma das razões para o seu grande sucesso como professor. Foi a primeira pessoa a estudar determinantes em 1683, dez anos mais tarde Leibniz, independentemente, usou determinantes para resolver equações simultâneas. Estudou as equações que tratam raízes
positivas e negativas mas não tinha nenhum conceito de números
complexos.    
Entre outros problemas estudados por Seki estavam as equações Diofantinas. Por exemplo, em 1683, ele considerou soluções inteiras de ax - by = 1 onde a, b são inteiros.                                                   
Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega. 
Aos 18 anos perdeu o pai e as suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função dos seus coeficientes para achar as raízes. Esta era uma dúvida que preocupavam os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou despercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.
Paolo Ruffini, médico e matemático, nasceu em Valentano (Itália) em 22 de Setembro de 1765. Começou o estudo de matemática e medicina na Universidade de Modena onde ele recebeu o grau de Doutor. Como matemático, o nome dele está associado com a prova da impossibilidade de resolver algebricamente a equação de grau 5. Menos conhecido, porém, é o facto que Ruffini publicou o agora familiar "método de Horner" de aproximação para as raízes de equações numéricas. Em 1802 a Italian Society of Forty ofereceu uma medalha de ouro para o melhor método de determinar a raiz de uma equação numérica de qualquer grau. 
Pierre de Fermat, nasceu em 1601 em Beaumont-de- Lomages (França). Foi advogado e oficial do governo em Toulouse pela maior parte da sua vida. A matemática era o seu passatempo. Fermat é mais lembrado pelo seu trabalho em teoria de número, em particular para o Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que xn + yn = zn não tem nenhuma solução inteira diferente de zero para x, y e z quando n > 2. Fermat escreveu, na margem da tradução de Bachet de Diofanto: Eu descobri uma prova verdadeiramente notável, mas esta margem é muito pequena para escrever.
É acreditado agora que a "prova" de Fermat estava errada embora seja impossível estar-se certo disso. Foi demonstrada a verdade da afirmação de Fermat em Junho de 1993  pelo matemático britânico Andrew Wiles, mas Wiles retirou a reivindicação de ter uma prova, quando problemas surgiram mais tarde. Em Novembro de 1994 Wiles reivindicou ter uma prova correcta.
Fermat não publicou quase nada durante a sua vida, anunciando as suas descobertas em cartas aos amigos. Às vezes ele anotou resultados nas margens dos seus livros. O trabalho dele  foi  largamente esquecido até que foi redescoberto no meio do séc. XIX. 
Em toda a História da Matemática Portuguesa destaca-se em primeiríssimo plano a figura de Pedro Nunes (1502-1578), o primeiro ocupante da nova cadeira de Matemática.
Uma das maiores obras de Pedro Nunes é o Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria (Antuérpia, 1567), que redigiu em espanhol. O assunto central é a resolução de equações, sobretudo de 1º e 3º graus e são também estudadas as operações com polinómios. Traço distintivo são a abstracção e generalidade com que são tratadas as teorias e apresentados os problemas. Pela primeira vez aparecem demonstrações algébricas gerais rigorosas.