COMO SURGIRAM OS NÚMEROS COMPLEXOS?


    Muitos de nós, quando nos é colocada esta questão, respondemos que os números complexos surgiram para resolver as equações de 2ºgrau.
    

No entanto, esta é uma ideia completamente errada! 


   
 
    Qualquer matemático do século XVI classificaria a equação como absurda, ou seja, sem solução. Nem sequer perdia tempo com ela.

    Foi ao resolver as equações de 3ºgrau, no caso em que estas possuem três raízes reais não nulas, que aparece o primeiro contacto com o mundo dos complexos. Vamos então ver, como é que tudo se passou...
    
    Foi Cardano que, em 1545, mencionou pela  primeira vez os números complexos, na sua obra Ars Magna de Cardano. Nesta obra aparece o seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Foi a resolução deste problema que levou Cardano a considerar as seguintes expressões:

 

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    No entanto, Cardano ficou por aqui, não dando significado às expressões acima referidas, mas teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.

    Anos mais tarde, em 1572, um outro matemático, Raffaelle Bombelli, publicou  uma obra denominada Algebra. A
Algebra de Bombelli começa com material elementar e culmina com o estudo das equações cúbica e quártica.
Ao resolver a equação x3=15x+4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" para obter a solução: 

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    Ele achou estranho esta expressão, porque conhecia todas as raízes da equação:

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    Mas Bombelli teve uma ideia, procurou a e b positivos tais que:

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    Com alguma manipulação algébrica concluiu que a=2 e b=1, donde sai que x=4. Logo, os números que viriam a ser chamados complexos podiam produzir raízes reais. Assim, na sua obra, Bombelli reconhece a existência dos imaginários puros, isto é, complexos da forma bi ou -bi, e estabelece as operações entre eles.



    Mais tarde, já no século XVIII, Abraham De Moivre introduziu métodos mais modernos na investigação das propriedades dos números complexos, para além de ter descoberto algumas fórmulas relacionadas com este assunto, das quais se destacam as "fórmulas de Moivre".
    
    Foi também neste século que Euler trabalhou na teoria dos números complexos. Assim em 1740 anunciou a Bernoulli a descoberta da fórmula:

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    Euler aprofundou ainda outras ideias já existentes sobre os números complexos, estabelecendo vários resultados.

    Entretanto, foram surgindo várias tentativas de representação geométrica dos imaginários. Argand reduziu o problema ao cálculo de um meio proporcional geométrico, isto é, associando um sentido e uma direcção ao meio proporcional habitual.

    Um dos teoremas fundamentais em Álgebra é precisamente o "Teorema Fundamental da Álgebra", que envolve números complexos. Este teorema quando foi enunciado não foi demonstrado, no entanto, mais tarde foram surgindo várias demonstrações. Um dos matemáticos que se interessou por este assunto foi Gauss, que publicou quatro demonstrações do teorema.


    Como vimos os números complexos, apesar de terem uma história recente envolveram a pesquisa de vários matemáticos. Foram realizados vários trabalhos de investigação e mesmo hoje em dia, sabe-se que ainda existem muitas coisas para descobrir e muitas questões em aberto para resolver!

 

 

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Alda Martins, Alice Gaspar, Cristina Andrade, Maria João Bruno