Tarefas Propostas

     Uma das características dos números complexos que deve ser explorada é o facto de estes números admitirem várias representações; então a decisão sobre o tipo de representação que dá mais jeito, ou que facilita os cálculos, ou que dá um significado geométrico mais rico ou mais interessante, é muito importante.
    As tarefas que propomos têm como objectivo que os alunos identifiquem e clarifiquem as relações dos complexos com outros temas da matemática bem como trabalhar o próprio conceito de número complexo.
    De referir que o papel da tecnologia na exploração dos complexos ultrapassa a utilização da calculadora. De facto algumas tarefas propostas têm todas as vantagens em serem exploradas em ambientes de geometria dinâmica, já que este tipo de trabalho realça ainda mais a conexão entre o plano e o corpo complexo. 

 


Números Complexos e Sistemas de Coordenadas

  1. Quadrados no Plano Complexo

                   O número complexo z=2cis(p/5) representa o vértice de um quadrado com centro na origem do referencial, no plano  complexo:

(Esta actividade pode ser adaptável a outros quadriláteros, como rectângulos e losangos.)

  1. Triângulos e Complexos

                

            Em todas as situações, o centro do triângulo é a origem do referencial.

  1. Triângulos e Potências

                Sobrepondo os referenciais com os triângulos ABC e DEF da actividade triângulos e complexos, obtemos os vértices de um hexágono regular.

  1. Polígonos e Coordenadas

                Escolha referenciais para representar polígonos regulares de 3, 4, 5, ... n lados e determine:

                

                            

Resolução
Resolução

  1. Polígonos e Potências 1

                Calcule as seguintes potências dos complexos encontrados na actividade anterior:

    Generalize as conclusões a que chegaste para um polígono regular de n lados, e demonstre-as.

  1. Polígonos e Potências 2

        z = rcisq representa um vértice do polígono regular de n lados com centro na origem do referencial.

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Cálculo com Números Complexos

  1. Operações com Complexos

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  1. Aprender a trabalhar com a Calculadora

    

  1. Investigar com a Calculadora

                Pode utilizar a calculadora para fazer experiências com números complexos, que lhe permitam induzir conjecturas. A interpretação geométrica pode dar uma boa ajuda à compreensão das relações envolvidas, mas a demonstração é essencial para termos a certeza de uma propriedade. Faça experiências, interprete geometricamente e, quando for caso disso, formule conjecturas e demonstre-as, acerca de:

  1. Potências de i

                Calcule os nove primeiros termos da sucessão das potências de expoente natural de i e represente no plano complexo os números complexos que obteve. Estabeleça uma regra para obter o valor de qualquer potência de i, e justifique-a com base na interpretação geométrica que fez.

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  1. Reais ou Imaginários?

                Entre as afirmações seguintes, há umas verdadeiras e outras falsas. Apresente argumentos que validem as que são verdadeiras e contra-exemplos para mostrar a falsidade das outras:

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Os Números Complexos como Vectores

  1. Quocientes e Vectores

Resolução

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Números Complexos e Transformações Geométricas

  1. Simétricos e conjugados

Resolução

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  1. Transformações com i

 zA = 3+4i      zB = 1+2i      zC = 5+i

izA      izB      izC

Escreva na forma algébrica e na forma trigonométrica os números complexos correspondentes aos pontos representados e compare a de cada número com a do seu produto por i.

Generalize as conclusões da questão anterior ao produto por i de qualquer complexo da forma z = a+bi = r(cosq+isenq).

Resolução

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Geometria e Números Complexos

  1. O velho problema dos pontos médios dos lados de um quadrilátero

Mostre que num quadrilátero qualquer, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelograma.

Resolução

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  1. Os pontos médios dos lados de um pentágono

São dados 5 pontos P, Q, R, S e T, que são os pontos médios dos lados de um pentágono. Determine os vértices do pentágono.

O problema tem sempre solução? A solução é única?

Estude um problema análogo para um polígono qualquer.

Resolução

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  1. Três quadrados

K, J e M são os centros de três quadrados dispostos como na figura.

Mostre que os segmentos KA e JM  são congruentes e perpendiculares.

 

 

Resolução
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