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Uma das características dos números complexos que deve ser explorada
é o facto de estes números admitirem várias representações; então a
decisão sobre o tipo de representação que dá mais jeito, ou que
facilita os cálculos, ou que dá um significado geométrico mais rico ou mais interessante, é muito importante.
As tarefas que propomos têm como objectivo que os alunos identifiquem
e clarifiquem as relações dos complexos com outros temas da matemática
bem como trabalhar o próprio conceito de número complexo.
De referir que o papel da tecnologia na exploração dos complexos
ultrapassa a utilização da calculadora. De facto algumas tarefas propostas têm todas as vantagens em serem exploradas em ambientes de
geometria dinâmica, já que este tipo de trabalho realça ainda mais a
conexão entre o plano e o corpo complexo.
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Números Complexos e Sistemas de Coordenadas
Quadrados no Plano Complexo
O número complexo z=2cis(p/5) representa o vértice de um quadrado com centro na origem do referencial, no plano complexo:
Indique os complexos que representam os outros três vértices do quadrado, na forma trigonométrica e na forma algébrica;
Determine a medida do lado e a medida da diagonal do quadrado;
Dado um número complexo z = rcisq, represente na forma trigonométrica os outros três complexos que com ele representam os vértices de um quadrado com centro na origem do referencial. Determine a medida do lado e a medida da diagonal do quadrado.
(Esta actividade pode ser adaptável a outros quadriláteros, como rectângulos e losangos.)
Triângulos e Complexos
Em todas as situações, o centro do triângulo é a origem do referencial.
Todos os triângulos podem ser obtidos do triângulo ABC por uma rotação. Caracterize cada rotação;
Indique, na forma trigonométrica, os números complexos correspondentes aos vértices de cada um dos triângulos equiláteros da figura.
Triângulos e Potências
Sobrepondo os referenciais com os triângulos ABC e DEF da actividade triângulos
e complexos, obtemos os vértices de um hexágono regular.
Calcule a potência de expoente 6 de cada um dos números complexos de A a F. Interprete algebricamente e geometricamente os resultados obtidos;
Sem fazer qualquer cálculo, obtenha as potências de expoente 6 dos números complexos correspondentes aos vértices dos triângulos GHI e JKL da actividade anterior;
Se sobrepuser os referenciais com os quatro triângulos da actividade triângulos e complexos, obtém os vértices de um polígono regular. Qual? Qual é o menor expoente que dá origem a potências iguais para todos complexos que estão representados pelos vértices A a L?
Escolha referenciais para representar polígonos regulares de 3, 4, 5, ... n lados e determine:
As coordenadas polares dos vértices de cada polígono;
As coordenadas cartesianas dos vértices de cada polígono;
A representação algébrica desses vértices no plano complexo;
A representação trigonométrica desses vértices no plano complexo.
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| Resolução |
Polígonos e Potências 1
Calcule as seguintes potências dos complexos encontrados na actividade anterior:
O cubo de cada um dos complexos que representam os vértices do triângulo;
A quarta potência de cada um dos complexos que representam os vértices do quadrado;
A quinta potência de cada um dos complexos que representam os vértices do pentágono;
A sexta potência de cada um dos complexos que representam os vértices do hexágono;
...
Generalize as conclusões a que chegaste para um polígono regular de n lados, e demonstre-as.
Polígonos e Potências 2
z = rcisq representa um vértice do polígono regular de n lados com centro na origem do referencial.
Indique os números complexos que representam os outros vértices deste polígono;
Qual é o menor expoente que dá origem a potências iguais para todos os complexos que representam os vértices?
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Obtenha dois números complexos cuja soma seja z;
Obtenha dois números complexos cuja diferença seja z;
Obtenha dois números complexos cujo produto seja w;
Obtenha dois números complexos cujo quociente seja w.
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| Comentário |
Aprender a trabalhar com a Calculadora
Utilize a calculadora para converter para a forma algébrica os seguintes complexos, e confirme geometricamente os resultados obtidos:
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Utilize a calculadora para converter para a forma trigonométrica os seguintes complexos, e confirme geometricamente os resultados obtidos:
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Investigar com a Calculadora
Pode utilizar a calculadora para fazer experiências com números complexos, que lhe permitam induzir conjecturas. A interpretação geométrica pode dar uma boa ajuda à compreensão das relações envolvidas, mas a demonstração é essencial para termos a certeza de uma propriedade. Faça experiências, interprete geometricamente e, quando for caso disso, formule conjecturas e demonstre-as, acerca de:
soma de números complexos conjugados;
soma de números complexos simétricos;
módulo da soma de dois números complexos;
argumento da soma de dois números complexos;
diferença de números complexos conjugados;
diferença de números complexos simétricos;
módulo do produto de dois números complexos;
argumento do produto de dois números complexos;
produto de números complexos conjugados;
módulo do quociente de dois números complexos;
argumento do quociente de dois números complexos;
quociente de dois números complexos conjugados;
...
Calcule os nove primeiros termos da sucessão das potências de expoente natural de i e represente no plano complexo os números complexos que obteve. Estabeleça uma regra para obter o valor de qualquer potência de i, e justifique-a com base na interpretação geométrica que fez.
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| Comentário |
Entre as afirmações seguintes, há umas verdadeiras e outras falsas. Apresente argumentos que validem as que são verdadeiras e contra-exemplos para mostrar a falsidade das outras:
a soma de dois números complexos não reais pode ser um número real;
há números complexos não imaginários puros cuja soma é um número imaginário puro;
O produto de dois números complexos não reais pode ser um número real;
há números complexos não imaginários puros cujo produto é um número imaginário puro;
Uma potência de um número complexo que não é real, é sempre um número complexo que não é real.
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| Comentário |
Os Números Complexos como Vectores
O quociente entre dois números complexos é um número real. Que relação existe entre os vectores que lhe correspondem?
O quociente entre dois números complexos é um número imaginário puro. Que relação existe entre os vectores que lhe correspondem?
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| Resolução |
Números Complexos e Transformações Geométricas
Que relação existe entre os módulos e entre os argumentos de dois números complexos conjugados a+bi e a-bi?
Que relação existe entre os módulos e entre os argumentos de dois números complexos simétricos a+bi e -a-bi?
Que relação existe entre os módulos e entre os argumentos de um número complexo e do simétrico do seu conjugado?
Qual é a figura cujos vértices são as representações geométricas dos números a+bi, a-bi, -a+bi e -a-bi?
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| Resolução |
zA = 3+4i zB = 1+2i zC = 5+i
Represente, no mesmo referencial, o triângulo A'B'C', cujos vértices correspondem aos seus produtos por i:
izA izB izC
Escreva na forma algébrica e na forma trigonométrica os números complexos correspondentes aos pontos representados e compare a de cada número com a do seu produto por i.
Generalize as conclusões da questão anterior ao produto por i de qualquer complexo da forma z = a+bi = r(cosq+isenq).
Faça um estudo análogo ao anterior para o quociente por i de qualquer complexo da forma z = a+bi = r(cosq+isenq).
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| Resolução |
Mostre que num quadrilátero qualquer, os pontos médios dos lados são vértices de um paralelograma.
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| Resolução |
São dados 5 pontos P, Q, R, S e T, que são os pontos médios dos lados de um pentágono. Determine os vértices do pentágono.
O problema tem sempre solução? A solução é única?
Estude um problema análogo para um polígono qualquer.
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| Resolução |
K, J e M são os centros de três quadrados dispostos como na figura. Mostre que os segmentos KA e JM são congruentes e perpendiculares.
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