Os Números Complexos

    Os números complexos apareceram como extensão dos números reais, pela necessidade de resolução de equações que no campo real não tinham solução. Daí a necessidade de criar novos números, as raízes de índice par de números negativos, que originam o conjuntos dos números imaginários, {a+bi: b≠0, a, b Î R }. O conjunto dos números complexos representa-se por C e resulta da união dos números reais com os números imaginários:

C = R È {números imaginários}

    Ao longo desta página, para ver a demonstração de alguns resultados clique no Dr. Smart-Head . 
    Clicando em pode visualizar a interpretação geométrica ou aplicação interactiva do assunto em causa. 

    Nesta página tratamos os seguintes temas, nos quais pode clicar:

    Representação Algébrica

    Um número complexo representa-se por a+bi, com a, b Î R , denominando-se:
        a a parte real;
        b a parte imaginária.
        Sendo z=a+bi, denota-se a=Re(z) e b=Im(z)

    Repare que o conjunto dos números reais é um subconjunto de C. Com esta nova terminologia temos:

        Conjunto dos números reais R ={a+bi Î C: b=0}

        Conjunto dos números imaginários puros  I={a+bi Î C: a=0}

    Os números complexos são representados num referencial cartesiano, em que se fixa o eixo das abcissas para representar o conjunto R  e o eixo das ordenadas para representar o conjunto I. Assim, a cada número complexo, z=a+bi,  corresponde o ponto do plano P(a,b). Ao ponto P(a,b) chama-se afixo do ponto z.

    Representação Trigonométrica

    A utilização de coordenadas é uma ideia fundamental em matemática. A representação trigonométrica dos números complexos mais não é do que um caso particular de utilização das coordenadas polares. Partindo da representação dos números complexos em coordenadas cartesianas, podemos, facilmente, chegar à representação trigonométrica. Na representação trigonométrica, um número z é univocamente determinado pela norma do vector que o representa e pelo seu argumento (ângulo que faz com o semieixo positivo das abcissas):

em que o ângulo q diz-se o argumento de z, e r diz-se o módulo de z.

    Sendo q o argumento de z, obviamente que q+2kp também o será. Assim chama-se argumento principal ao q tal que:

    A partir das conhecidas relações trigonométricas (ver figura anterior):

    cos q =a/r   sen q =b/r Û     a=r.cos q    b=r.sen q

    z = a+bi Û   z = r.cos q+(r.sen q)i Û   z = r.(cos q + i sen q)

     cos q + i sen q denota-se cis q

              z =r.cis q

    Da relação tgq=b/a consegue-se tirar o valor de q: q é tal que tgq=b/a

    Igualdade de Números Complexos

    Dados os números complexos  z=a+bi e w=c+di, definimos a igualdade entre z e w, escrevendo 
                    z=w Û a=c Ù b=d

    Simétrico de um Número Complexo

    O simétrico do número complexo z=a+bi é o número complexo -z = -(a+bi), ou seja, -z=(-a)+(-b)i, que corresponde a uma rotação de 180^o do afixo de z em torno da origem. [Em notação trigonométrica, o simétrico de z =r.cis q é -z=r.(-cos(-q)+isen(-q))].  (vide interpretação geométrica).

    Conjugado de um Número Complexo

        O conjugado do número complexo z=a+bi é o número complexo denotado por z=a-bi, que corresponde a uma reflexão do afixo de z na recta das abcissas. Em notação trigonométrica, o conjugado de z =r.cis q é z=r.cis (-q).(vide interpretação geométrica).

    Sendo z=a+bi, representando z, o seu conjugado, o seu simétrico e o simétrico do seu conjugado no plano, estes quatro números formam um rectângulo:

    Inverso de um Número Complexo

    Sendo z = a+bi (¹ 0), z ^-1= (a-bi)/(a²+b²).

    Na representação trigonométrica o inverso de z=r.cis q é z ^-1= r ^-1cis(-q).

    Operações com Complexos:

    Considerando os números complexos z₁=a+bi e z₂=c+di, ou, na forma trigonométrica, z₁=r₁.cisq₁ e z₂=r₂.cisq₂ (vide interpretação geométrica).

    Adição:

   A soma em notação algébrica é análoga à soma de polinómios:

     z₁+z₂=a+c + (b+d)i;

    É ainda de notar que sendo z e w dois números complexos: z+w = z+w.

    Em notação trigonométrica não há simplificações possíveis.(vide interpretação geométrica).

    Produto:

    O produto de z₁ por z₂ é o número complexo  z₁.z₂ = (ac-bd) +(ad+cb)i, ou, de maneira mais simples, na forma trigonométrica z₁.z₂=r₁r₂.cis(q₁+q₂) (vide interpretação geométrica).

   É ainda de notar que sendo z e w dois números complexos: z.w = z.w

    Reparemos que o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual à sua norma ao quadrado:

Z.Z =| Z|²

    Subtracção:

    A subtracção de z₁ por z₂ não é mais que a soma de z₁ com o simétrico de z₂, isto é,  z₁-z₂ = z₁+(-z₂) (vide interpretação geométrica).

    Divisão:

    O quociente entre z₁ e z₂ é o produto de z₁ pelo inverso de z₂, ou seja, z₁/z₂ = z₁.z₂^-1 .

    Potenciação:

   Chamamos potenciação a uma potência de expoente inteiro.
    Assim zⁿ=rⁿ.cis(nq) .

    Radiciação:

   Chamamos radiciação a uma potência de expoente fraccionário.

    Cada número complexo tem n raízes índice n, isto é, a radiciação de números complexos dá-nos um conjunto de raízes.
    Observemos que as raízes índice n de um número complexo z são as soluções da equação 

wⁿ=z

    que, no corpo dos complexos, tem n raízes.

    Sendo z =r.cis q, as raízes índice n de z são dadas pela fórmula de de Moivre para a radiciação:

Abraham de Moivre

    A Igualdade de Euler

    Euler demonstrou a seguinte e importantíssima igualdade:

    que relaciona os números complexos e as funções trigonométricas.