Há quem considere a designação números imaginários, tantas
vezes atribuídas aos números complexos, como uma designação infeliz.
Como temos uma tendência natural para ligar os nomes aos sentidos já
conhecidos das palavras, e aprendemos as palavras imaginário e número
em contextos totalmente diferentes dos que são usados pelos matemáticos,
os alunos podem ser levados a pensar que estes números não existem.
A partir da igualdade de
Euler é possível construir uma relação notável:
eiπ+1=0
Esta fórmula integra os mais importantes números da matemática: 0, 1, e, p e i e ainda as três operações matemáticas- adição, multiplicação e exponenciação. Euler adorava esta fórmula (considerava-a a mais bela das fórmulas) e mandou colocá-la por cima dos portões da Academia Real de Sampetersburgo, na Rússia.
Da
igualdade de
Euler temos que
eiπ=-1, ei3π=-1,..., ei(2k+1)π=-1, k Î Z
devido à periodicidade das funções trigonométricas. Assim
log (-1)=i(2k+1)π, k Î Z
o que levou Euler a concluir, sem grande embaraço, que log (x) tem muitos valores quando trabalhamos nos complexos.
Existe um estudo sobre números complexos, no qual um
número complexo z=a+bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
forma:
e todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.
Os inteiros gaussianos são números complexos em que tanto a parte
real a como a parte imaginária b são números inteiros. Por
exemplo: 9-2i é um inteiro gaussiano, ao contrário de 2/3-i.
De forma idêntica à dos primos em N, os primos gaussianos são
os inteiros gaussianos divisíveis apenas por si próprios e por 1, -1, i e
-i. Nem todos os primos reais são primos gaussianos. Existem dois
critérios para determinar se um número complexo é ou não primo gaussiano:
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O triângulo
formado por z, a origem e 1 e o triângulo formado por 1/z, a origem e 1, são
semelhantes. Pode constatar este facto experimentando uma aplicação
interactiva
.
Gauss pensava os complexos como pontos do plano. Por sua vez de
Moivre , Euler e Vandermonde tiveram a mesma ideia pois, ao tentarem
resolver a chamada equação ciclotómica
xn-1=0 (1)
imaginaram as soluções como vértices de um polígono
regular de n lados.
A álgebra demonstra-nos que qualquer polinómio de grau
n em C tem n soluções. A equação (1) admite 1 como solução, e, se
desenharmos no plano complexo um polígono regular com n lados centrado na
origem, com um vértice no ponto 1, os números complexos que correspondem
ao demais vértices são as soluções da equação (1), essas soluções
são as raízes de índice n da unidade. Aos números que são
solução de uma equação ciclotómica é costume chamar-se números de de
Moivre.
De um modo geral as soluções da equação
xn-w=0
onde n é um número natural e w um número complexo dado, formam um polígono regular de n lados centrado na origem.
Exemplos:
x4-1=0, que admite como conjunto solução {1, -1, i, -i}
x3-2=0 que, pela fórmula de de Moivre para a radiciação admite como conjunto-solução {3Ö2, 3Ö2cis(2π/3), 3Ö2cis(4π/3)}
Os complexos são uma das mais belas e fecundas ideias de
toda a Matemática. Apesar de pura criação do espírito, tomando por isso
a designação de imaginários, estes números impregnam a estrutura
profunda da realidade, tanto a nível cósmico como a nível subatómico;
neste último caso temos como exemplo a função de onda, função complexa
das coordenadas das partículas constitutivas do corpo e do tempo.
A teoria dos limites, a diferenciação, as sucessões e séries complexas
estendem-se com extrema simplicidade a partir da análise real.
A partir de meados do séc. XIX, a análise complexa tornou-se um
importantíssimo campo da Matemática. Tem aplicações em engenharia,
mecânica de fluidos, hidrodinâmica, electrostática, teoria quântica,
entre muitas outras, e é uma poderosa ferramenta para matemáticos,
físicos e engenheiros.
