Porquê?!?

O Inverso de um Número Complexo

Dado um número complexo z=a+bi, não nulo, define-se o inverso deste como o número z^-1=u+iv tal que 

z.z^-1=1

Basicamente, o produto z pelo seu inverso z^-1 deve ser igual a 1, isto é:

(a+bi).(u+iv)=(au-bv)+(av+bu)i=1=1+0i 

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

au-bv=1
av+bu=0

Este sistema possui uma única solução (pois z é não nulo) que é:

u=a/(a²+b²)
v=-b/(a²+b²)

Assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

  z ^-1= (a-bi)/(a²+b²)

ou

Sendo z=a+bi, o inverso de z é z^-1=1/(a+bi).

1/(a+bi)=(a-bi)/[(a+bi).(a-bi)]=(a-bi)/(a²+b²), isto é:

  z ^-1= (a-bi)/(a²+b²)

O Produto de dois Complexos na Forma Trigonométrica

Consideremos os números complexos z₁=r₁.cisq₁ e z₂=r₂.cisq₂. Podemos multiplicar z₁ por z₂ da maneira usual:

z₁.z₂=r₁.(cosq₁+isenq₁)r₂.(cosq₂+isenq₂)=
=r₁.r₂[(cosq₁.cosq₂-senq₁.senq₂)+i(senq₂.cosq₁+senq₁.cosq₂)]=
=r₁.r₂[cos(q₁+q₂)+isen(q₁+q₂)]=r₁.r₂cis(q₁+q₂)

Z.Z =| Z|²

pois, (a+bi).(a-bi) = a²+b² = |z|² e que (r.cis q).(r.cis (-q)) = r².cis(0) = r²