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Não podemos esquecer que nesta altura (sécs. XVI e XVII) nem os
irracionais nem os negativos tinham adquirido esta dignidade numérica.
Qualquer matemático desta altura classificaria as equações do tipo x2+1=0
ou x2-2=0 como absurdas, obviamente impossíveis, sem solução, não
perderiam tempo com elas. Os números negativos e os números complexos
apareceram mais ou menos simultaneamente.
Um grande passo no estudo dos números complexos, z=a+bi, foi
a sua representação visual. O dinamarquês Caspar Wessel, em 1797, foi o
primeiro a representar geometricamente os números complexos, estabelecendo uma
correspondência bijectiva entre números complexos e pontos do plano, que, de
certa forma, segue a linha da representação dos números reais numa recta.
Esta representação de Wessel vai um pouco mais além da
simples representação cartesiana, pois toma um eixo (regra geral o eixo das
ordenadas) como o eixo onde se encontram todos os imaginários puros. Este
trabalho de Wessel foi votado ao esquecimento, por ter sido publicado em
dinamarquês, e só anos depois, à volta de 1806, agora publicado em francês
por Jean Robert Argand que criava a mesma representação cuja glória,
indevida, ficou ligada ao seu nome até aos nossos tempos.
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Ao homem de hoje as raízes quadradas de números
negativos não provocam nenhuma dificuldade de aceitação, ao contrário dos
algebristas do séc. XVI que, sugestionados pelo aspecto, as consideravam como
um artifício e algo fora das possibilidades numéricas, e
não lhes conferiam
qualquer dignidade numérica. Este modo de ver instalou-se de tal maneira
no espírito dos algebristas que, já no séc. XVII, Descartes chamou
imaginários a estes novos números.
As raízes quadradas de números complexos aparecem na
resolução de cúbicas e não na resolução de equações de segundo grau tal
como, por vezes, falaciosamente, se considera. É a obra de Cardano, Ars Magna, que despoleta o
aparecimento dos números imaginários. Esta obra basicamente tratava,
entres outros assuntos, das resolventes da cúbica e da quártica. Consideremos
o seguinte problema constante da Ars Magna "Determinar dois
números cuja soma seja 10 e o produto seja 40.". A resolução deste
problema levou Cardano a considerar as expressões 5+Ö-5
e 5-Ö-5
como soluções do problema e tal como pensou "Pondo de lado a
tortura mental envolvida" não lhes dando significado. A partir de um
trabalho de Bombelli os números complexos começaram a ser usados, apesar de se
duvidar da sua existência.
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conceito de número tem sido preocupação constante
para matemáticos e filósofos, chegando a considerar-se que a complexidade de
uma civilização se reflecte na complexidade dos seus números. Embora a ideia
de número seja anterior à criação da palavra para o designar, pode dizer-se
que o desenvolvimento da ideia caminhou a par com o da respectiva linguagem.
Foi após longa evolução que o Homem desenvolveu a técnica que consiste em
fazer corresponder a cada elemento de um conjunto, um elemento de outro
conjunto. Para os antigos Hindus a lua ou a terra representavam o número 1, as
asas de um pássaro o número 2, as folhas de um trevo o número 3, as patas de
um cão o número 4, os dedos da mão o números 5, o que reflecte também a
ligação da criação de número com a própria Natureza. Segundo Bento de
Jesus Caraça: «Esta operação de "fazer corresponder" (...) é,
sem dúvida, uma das ideias basilares da matemática». 
