Interpretação Geométrica

    Ao longo desta página é de notar que um número complexo pode ser, indiferentemente, considerado como o número z, o ponto z ou o vector z.

        Suponhamos um lápis de comprimento unitário assente num referencial cartesiano como indica a figura

    O lápis aponta para 1. Rodemos agora o lápis 90º, no sentido directo, em torno da origem.

    O lápis agora aponta para i. Podemos assim considerar que multiplicar por i corresponde a uma rotação de 90º em torno da origem no sentido directo.
    Rodemos de novo o lápis 90º no sentido directo, em torno da origem.

    O lápis aponta para -1. Fizemos assim duas rotações de 90º no sentido directo, em torno da origem, isto é, operamos i duas vezes sobre 1, e obtivemos -1, ou seja

i´i = -1 Û   i² = -1

Adição e Subtracção de Números Complexos

    Considerando os números como vectores, a soma de complexos não é mais que a soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo", e a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.

Note-se ainda que se interpretarmos o complexo z₁ como o ponto z₁, z = z₁+z₂ corresponde à translação do ponto z₁ segundo o vector z₂.

    Se quiser experimentar aplicações interactivas relacionados com a

• Adição de um Complexo com o seu Conjugado

• Adição do Complexo z com o seu Inverso (1/z)

clique sobre o tema que quer ver tratado

Multiplicação de números complexos

    Pretendemos fazer a interpretação vectorial do produto de um número complexo z₁ = a+bi por um número complexo z₂ = c+di, sabendo que esta operação não corresponde a nenhuma operação conhecida entre vectores.

    Suponhamos que z₂ é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de z₁ por z₂ corresponde ao produto do vector (a,b) pelo número real c. É de notar que se c>0, então esta operação corresponde a uma dilatação de razão c do vector z₁ e se c<0 corresponde a uma dilatação de razão |c| do mesmo vector, seguida de uma rotação de 180º de centro na origem.

    Suponhamos que z₂ = i, então neste caso o produto do complexo a+bi por i corresponde à rotação de 90º no sentido directo e em torno da origem do vector (a,b), obtendo-se o vector (-b,a).

    O produto de um complexo a+bi por um imaginário puro ki combina as duas operações anteriores: o produto do vector (a,b) por k, seguido de uma rotação de 90º no sentido directo em torno da origem do vector obtido.

    Estas operações podem ser facilmente visualizadas na figura seguinte:

    Vejamos agora o produto de um complexo a+bi pelo complexo c+di. Este produto é equivalente a c´(a+bi) + di´(a+bi), por isso vectorialmente corresponde a:

1. determinar o produto do vector (a,b) pelo número real c;	2. determinar o produto do vector (a,b) pelo número real d e fazer uma rotação de 90º ao vector obtido
3. adicionar os vectores obtidos em 1. e 2.

    Se quiser experimentar aplicações interactivas relacionados com a

• Multiplicação de Complexos
• Divisão de Complexos
• Potênciação de um Complexo z

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Reflexão segundo Ox Û conjugado
	Re z = Re z Im z = -Im z |z| = |z| arg z = -arg z

Simétrico do Conjugado de um Número Complexo

Reflexão segundo Oy Û simétrico do conjugado
	Re(-z) = -Re z Im(-z) = Imz |-z| = |z| arg(-z) =p-arg z

Meia-Volta com centro na Origem Û simétrico
	Re(-z) = -Re z Im(-z) = -Imz |-z| = |z| arg(-z) =arg z-p

    Podemos então fazer corresponder várias operações com complexos às respectivas transformações geométricas, como se pode ver na seguinte tabela:

    Estas cinco operações básicas são suficientes para interpretar geometricamente todas as operações com complexos necessárias. Basta interpretar algumas operações como inversas de algumas destas, e recorrer à transformação geométrica inversa, e outras como compostas de várias operações e recorrer à composta das transformações geométricas correspondentes.