Descobrindo os Números Complexos

A ordem das questões desta tarefa é determinante na medida em que, num polígono regular com centro na origem do referencial, há uma relação muito simples entre as coordenadas polares dos vértices desse polígono. Começar por obter as coordenadas cartesianas seria desinteressante e complicado.

Esta tarefa permite discutir a vantagem de trabalhar com coordenadas polares, mesmo quando o objectivo é obter as coordenadas cartesianas.

Para um polígono de n lados e escolhendo um referencial com origem no centro da circunferência circunscrita e unidade igual ao raio, as coordenadas polares dos vértices são

A formulação da tarefa dá liberdade total para a escolha da unidade.
Partimos de um vértice no eixo real, com argumento 0 portanto, porque facilita muito a expressão geral e os cálculos envolvidos. Se tivéssemos partido de um outro ponto, de argumento ß, os outros pontos teriam argumentos ß+k×2p/n

As questões terem uma infinidade de soluções permite a autonomia dos alunos na validação dos resultados obtidos, que é um hábito muito importante a desenvolver, e de que muitas vezes nos esquecemos.

Um aspecto interessante desta tarefa é a possibilidade de várias extensões, introduzindo restrições para os números pedidos. Por exemplo, obter dois números com igual módulo, dois números em quadrantes diferentes, dois números no mesmo quadrante que o número dado, etc.

Parte desta tarefa é quase tradicional, o que nos parece de salientar é a conexão com a geometria e as vantagens de interpretação que daí podemos tirar.

A afirmação a) é verdadeira. Considerando os dois números complexos não reais a+bi e c-bi com b≠0, a sua soma é o número real a+c.

A afirmação b) é verdadeira. Considerando os dois números complexos não imaginários puros a+bi e -a+ci com a≠0, a sua soma é o número imaginário puro (b+c)i.

A afirmação c) é verdadeira. Por exemplo, o produto de dois imaginários puros dá sempre um número real.

Este tipo de proposta de trabalho, em que se pede aos alunos que comentem afirmações, permite muitas explorações e tipos de justificação. Nestes casos há uma grande valorização do papel do contra-exemplo na refutação de uma conjectura.

Esta lista de afirmações serve apenas de exemplo para muitas outras que se podem construir, tanto pelo professor como pelos alunos; não é demais insistir na faceta experimental, com recurso à calculadora ou não, a na sua interpretação geométrica.

Se olharmos para a divisão de complexos como a operação inversa da multiplicação, a resposta para estas questões é praticamente imediata.

o que significa que os vectores correspondentes a z e a w têm a mesma direcção, o mesmo sentido quando k>0, e a norma de z é igual |k| vezes a norma de w. O facto de o quociente ser real garante-nos o paralelismo (ou colinearidade) de dois vectores, e é isso que interessa realçar.

o que significa que os vectores correspondentes a z e a w têm direcções perpendiculares.

No caso da primeira questão, mudar o sinal da parte imaginária traduz-se na reflexão relativamente ao eixo real, e mostra-nos imediatamente que os argumentos são também simétricos, que os módulos são iguais e que estas relações são válidas para qualquer complexo.

Depois de ver, no verdadeiro sentido desta palavra, estas relações, a abordagem algébrica pode ser trabalhada para ampliar a compreensão. E isto porque também consideramos que a abordagem algébrica é necessária e permite ir muito mais longe, se tiver sido construida numa base de significados diversos.

z_A' = iz_A = -4+3i

z_B' = iz_B = -2+i

z_C' = iz_C = -1+5i

A figura sugere logo uma rotação de centro em O e amplitude 90º'. De facto, o produto por i faz trocar a parte real com a parte imaginária, trocando o sinal de uma delas, o que em termos de coordenadas de vectores, significa que o vector que vai de O para A e o que vai de O para A' são perpendiculares e têm a mesma norma, e o mesmo se pode afirmar para os outros pares de vectores.

Trabalhámos na forma algébrica e na representação vectorial correspondente. Mas se trabalharmos com os números na forma trigonométrica, mesmo com valores aproximados dos argumentos, chegamos exactamente à mesma conclusão.

De uma maneira geral, se z_P = a+bi então iz_P = -b+ai o que significa que os vectores (a,b) e (-b,a) são perpendiculares e com a mesma norma.

Se z_P = rcisq então iz_P = cis(p/2)×rcisq = rcis(q+p/2). Donde se conclui que à operação produto por i corresponde a transformação geométrica rotação de centro na origem e amplitude p/2. Em relação à divisão, sabendo que transformação inversa da rotação de centro O e amplitude a é a rotação de centro O e amplitude -a, concluímos que à operação divisão por i corresponde a transformação geométrica rotação de centro na origem e amplitude -p/2.

Num pentágono qualquer, ABCDE, no plano complexo, os pontos médios ficam definidos pelas expressões que relacionam os números que os representam

P = 1/2(A+B)

Q = 1/2(B+C)

R = 1/2(C+D)

S = 1/2(D+E)

T = 1/2(E+A)

P - Q + R - S + T

= 1/2 [(A+B)-(B+C)+(C+D)-(D+E)+(E+A)]

=1/2(A+A)=A

o que nos dá o ponto A em função dos pontos médios. Obtido o ponto A, os outros obtêm-se facilmente por somas de pontos e vectores, como por exemplo

A exploração desta tarefa num programa de geometria dinâmica convence-nos imediatamente da validade deste teorema.

Sejam a e b as medidas dos lados dos quadrados de centros J e K, respectivamente. Se escolhermos como origem do referencial do plano complexo o vértice que é comum aos três quadrados, obtemos a seguinte tradução para números complexos, já que os centros dos quadrados são pontos médios das suas diagonais.

Pontos	Números Complexos
A	a
J	1/2(a+ai)
K	1/2(-b+bi)
M	1/2(a-(a+b)i-b) = 1/2(a-b)-1/2(a+b)i

o que, em termos de vectores, significa que são perpendiculares e com a mesma norma, e portanto os segmentos que os representam também são perpendiculares e de comprimentos iguais, como queríamos demonstrar.