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Um método tradicional
para traçar uma elipse é usado em jardinagem, quando se pretende, por exemplo, construir
um canteiro de flores.
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Procedimento: Arranja-se um fio e atam-se as pontas a duas estacas. Espetam-se estes dois paus no chão de modo a que a distância entre eles seja menor do que metade do comprimento do fio. Com um pau, e mantendo o fio esticado, desenha-se uma linha no chão, e a linha obtida é a chamada elipse.
Definição: Uma
elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é
constante (2a) e maior do que a distância entre eles.
Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c).
Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são: x=0 e y=0.
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Elipse com focos sobre o eixo ox:
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Seja 2a a soma das distâncias do ponto P=(x,y) aos focos. De acordo com a definição de elipse, vem:
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d(P,F1) + d(P,F2) = 2a |
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Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:
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Elevando novamente ao quadrado:
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Como a > c então a2 - c2 > 0. Temos a2 - c2 = b2, pelo teorema de Pitágoras.
| Então |  |
O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo ox: |
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Características da elipse |
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| Equação reduzida da elipse |
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| Eixos maior e menor | 2a e 2b, respectivamente |
| Focos | (-c,0); (c,0) |
| Vértices | (±a,0); (0,±b) |
| Distância Focal | 2c |
| Centro da elipse | (0,0) |
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Excentricidade |
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| Directrizes |
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A excentricidade (e) da elipse é o quociente entre a semi-distância focal e o semieixo maior (0<e<1).
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| Temos a < b e pelo teorema de Pitágoras, vem que |
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De acordo com a figura, a
equação será:
O quadro
seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo oy:
| Características da elipse | |
| Equação reduzida da elipse |
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| Eixos maior e menor | 2b e 2a, respectivamente |
| Focos | (0, -c); (0,c) |
| Vértices | (±a,0); (0, ±b) |
| Distância focal | 2c |
| Centro da elipse | (0,0) |
| Excentricidade |
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| Directrizes |
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Nota: A circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) é nula. Para elipses muito próximas da circunferência, os focos estão próximos do centro e a excentricidade é muito pequena.
Para cada uma das elipses consideradas, podemos ainda admitir
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| uma translação segundo um vector |
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Tomemos como exemplo a elipse de equação
A equação da nova elipse obtém-se da anterior substituindo
x por
x-x1
e y por
y-y1:
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O
centro da nova elipse é (x1, y1)
.
Os eixos de simetria desta elipse são: x = x1
e y = y1.
Da equação da circunferência para a equação da elipse
| Seja |
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a equação reduzida de uma elipse. |
| Se tomarmos a = b = r vem: |
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