Elipse

    Um método tradicional para traçar uma elipse é usado em jardinagem, quando se pretende, por exemplo, construir um canteiro de flores.

    Procedimento: Arranja-se um fio e atam-se as pontas a duas estacas. Espetam-se estes dois paus no chão de modo a que a distância entre eles seja menor do que metade do comprimento do fio. Com um pau, e mantendo o fio esticado, desenha-se uma linha no chão, e a linha obtida é a chamada elipse.

     Definição: Uma elipse é um conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. 
    Os pontos fixos são os
focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c).

    Os elementos da elipse são: o centro, o eixo maior, o eixo menor, os focos e os vértices. Os eixos de simetria da elipse são: x=0 e y=0.


    Elipse com focos sobre o eixo ox                        

F1=(c,0)
   F2=(-c,0)  


            

Seja 2a a soma das distâncias do ponto P=(x,y) aos focos. De acordo com a definição de elipse, vem:

          d(P,F1) + d(P,F2) = 2a

    Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

    Elevando novamente ao quadrado:

    Como a > c  então a2 - c2 > 0. Temos a2 - c2 = b2, pelo teorema de Pitágoras.

     Então  

    O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo ox:

     

            Características da elipse 

                                                 

Equação reduzida da elipse

, a > b  

Eixos maior e menor

2a e 2b, respectivamente 

Focos

(-c,0); (c,0)

Vértices

(±a,0); (0,±b)

Distância Focal

2c

Centro da elipse

(0,0)

Excentricidade

 

Directrizes

    A excentricidade (e) da elipse é o quociente entre a semi-distância focal e o semieixo maior (0<e<1).

     
    
Elipse com focos sobre o eixo oy:     
                          
                              
                               F1=(0,c)
                     
                        
F2=(0,-c)

    Temos a < b e pelo teorema de Pitágoras, vem que

     De acordo com a figura, a equação será:  
                                                                 
eq_elipse.jpg (2201 bytes)
   
  O quadro seguinte resume as principais características da elipse com focos sobre o eixo oy:
                        

              Características da elipse  
Equação reduzida da elipse

Eixos maior e menor

2b e 2a, respectivamente

Focos

(0, -c); (0,c)

Vértices

(±a,0); (0, ±b)

Distância focal 2c
Centro da elipse (0,0)
Excentricidade

Directrizes

   

     Nota: A circunferência é um caso particular da elipse, cuja excentricidade (desvio do centro) é nula. Para elipses muito próximas da circunferência, os focos estão próximos do centro e a excentricidade é muito pequena.

   Para cada uma das elipses consideradas, podemos ainda admitir
uma translação segundo um vector

    Tomemos como exemplo a elipse de equação
                                                                            
     
   
 A equação da nova elipse obtém-se da anterior substituindo x por x-x1 e y por y-y1:    

 

        O centro da nova elipse é (x1, y1)
      Os eixos de simetria desta elipse são:
x = x1 e y = y1.
                       

   
  
     Da equação da circunferência para a equação da elipse

      Seja

a equação reduzida de uma elipse.
      Se tomarmos a = b = r vem:

      
      Obtemos, deste modo, uma circunferência de centro na origem e raio r, cuja equação é:

 

 

                                 Algumas curiosidades