Hipérbole

    Definição: Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante e menor que a distância entre eles.
      Os pontos fixos são os focos da hipérbole. A distância entre os focos é a distância focal (2c).
      Ao eixo que contém os focos chama-se eixo transverso.

    Hipérbole com focos sobre ox:

 
F1= (c, 0)
F2= (-c, 0)

 

    Seja 2a a constante a que se refere a definição. Seja P=(x, y) um ponto qualquer da hipérbole, vem:

    Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

    Pela definição sabemos que 2c >2a , logo c >a e c2-a2>0.

   Fazendo  ,vem:

 

Principais características da hipérbole com focos sobre ox

Equação reduzida

Focos

(-c, 0); (c, 0)
Vértices

(-a, 0); (a, 0)
Eixo transverso

2a
Eixo não transverso

2b
Directrizes

excentricidade

Assimptotas

    A excentricidade é o quociente entre a semi-distância focal e o semi-eixo transverso. Este quociente é sempre superior a 1 dado que 0< a< c.

    Hipérbole com focos sobre oy:
     Temos 
     Seguindo o método anterior para esta hipérbole encontramos a
seguinte equação:

 

            Principais características da hipérbole com focos sobre oy

Equação reduzida

Focos

(0, -c); (0, c)
Vértices

(0, -b); (0, b)
Eixo transverso 2b
Eixo não transverso 2a
Directrizes
Excentricidade

Assimptotas

    As duas hipérboles que acabámos de referir nos quadros anteriores (uma com focos sobre ox e a outra com focos sobre oy) possuem as mesmas assimptotas, e por isso dizem-se hipérboles conjugadas.

        Um caso particular da hipérbole:

        Chamam-se hipérboles equiláteras às hipérboles tais que a=b, ou seja, cujas assimptotas são perpendiculares.

     Deste modo,  e a excentricidade
é:  
     A equação reduzida é:   ou , consoante os focos
estejam no eixo das abcissas ou no eixo das ordenadas.

        As assimptotas são as bissectrizes dos quadrantes, ou seja: 
                                                                                                         
       Observe o seguinte quadro:

                 

                


    Considerando um triângulo com os seus vértices sobre uma hipérbole equilátera, o ortocentro do triângulo (ponto de encontro das alturas) também estará sobre a hipérbole. Dito de outra maneira, se quatro pontos forem ortocêntricos, então existirá uma família de hipérboles equiláteras passando pelos quatro pontos. O conjunto de pontos formado pelos centros dessas hipérboles equiláteras constitui a circunferência dos nove pontos do triângulo.


    Se quatro pontos não forem ortocêntricos então existirá uma única hipérbole equilátera passando por eles e o seu centro será o ponto de intersecção das quatro circunferências de nove pontos dos triângulos obtidos ao tomar três dos pontos de partida de cada vez.

    Para cada uma das hipérboles consideradas podemos ainda
imaginar uma translação segundo um vector
     O centro da nova hipérbole é:

        Por exemplo, partindo da equação
                                                                               
      Obtemos a seguinte equação reduzida: 

           

Algumas curiosidades