Órbita da Terra

   2a = 14957000 km <=> a = 7478500 km

   Excentricidade da elipse: 0.0167 

   Uma distância possível a que a Terra fica do Sol é, por exemplo, 
a - c = 7353609.1 km. Esta distância corresponde à situação em que a Terra se encontra no vértice mais à esquerda e o Sol se encontra no foco mais à esquerda.

Igreja

   Consideremos que o semi-eixo maior da elipse é a = 15,o semi-eixo menor é b = 6 e o centro da elipse é (0,0).

Nestas condições, a equação da elipse é:

   Substituindo na equação x por 10 (a 5 metros de uma das paredes laterais) obtemos:

   Portanto, a altura da Igreja a cinco metros de uma das paredes laterais é 10 (altura das paredes laterais) + 4.472, ou seja, 14.472 metros.

Sputnik

   Temos que a distância máxima é 383 milhas, a distância mínima é 132 milhas, e o raio da terra é 4000 milhas. Temos 132 + 4000 + 4000 + 383 = 8515, que corresponde ao eixo maior da elipse, ou seja,
                    
   Atendendo aos dados do problema, Sabemos que c = 4383 - a.

Portanto,

Nestas condições temos

A ponte e o barco

   Fixemos um referencial de tal modo que o centro da elipse seja: C=(0,0), o semi-eixo maior (a) seja 25 e o semi-eixo menor (b) seja 18. Nestas condições, a equação da elipse será:                     

   Substituindo y por 10 obtém-se: 

              
   As colunas vão ficar, deste modo, à distância de 41.6 metros uma da outra.

O arco da ponte
       

    Uma equação da parábola que contém o arco AOB:

      A expressão analítica da parábola cujo eixo de simetria é o eixo das abcissas e que tem a concavidade voltada para baixo é:

      Sabemos que A=(-40, -120) e B=(40,-120).

      Substituindo na expressão analítica da parábola obtém-se:

Portanto,

    As coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 90 metros:

      Os pontos vão ser da forma: P₁= (x₁, -30) e P₂= (x₂, -30), dado que 120-90 = 30.

      Substituindo na equação, obtém-se: 

      Portanto P₁ = (20, -30) e P₂ = (-20, -30).

    A altura do poste [AS], sabendo que ST é a tangente à parábola com declive 1:

A equação da parábola é:

Derivando, obtemos:

      O declive da recta tangente à parábola no ponto T é a derivada da função neste ponto. Vamos ver quando é que a derivada é 1.     

Substituindo na equação da parábola, obtém-se:

Portanto,

     A equação da recta ST é: y-y₁=m(x-x₁), sendo m o declive da recta tangente e (x₁,y₁) um ponto de ST (vamos considerar o ponto T). Ou seja,

  Temos que S pertence à recta ST e que a abcissa deste ponto é –40. Substituindo na equação da recta ST, obtemos:

Portanto,

Os cabos da ponte

   A equação da parábola que tem a forma dos cabos tem a seguinte expressão analítica:

   Substituindo na equação os dados que são dados no enunciado obtém-se:

Portanto,

 
O colector solar
      

A equação da parábola do enunciado é da forma

Temos que 2.4 metros são 240 cm, e

enunciado seja

     Nestas condições temos A=(-120,40) e B=(120,40)
   Como a parábola contém o ponto B, substituímos na equação da parábola x e y pelos valores correspondentes à abcissa e à ordenada de B:

Portanto,

Sabemos que o foco de uma parábola é