Funções Inversas

 

Em muitos problemas é necessário desfazer um procedimento ou refazer uma sequência de passos, desfazendo o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa.

Qual o procedimento inverso de:

  • Abrir uma porta?
  • Calçar os sapatos?
  • Somar dois?
  • Dividir por quatro ?
  • Multiplicar por meio?
  • Elevar ao quadrado?
  • É sempre possível determinar o procedimento inverso?

 

Dada uma função arbitrária y = f(x) , podemos querer determinar x como função de y , isto é, a partir da função y = f(x) determinar x = g(y) . Nesse caso, dizemos que f e g são funções inversas.

Como g deve "desfazer ou anular" o efeito de f , temos também que

f o g(x) = x  g o f(x) = x 

Funções Biunívocas

É sempre possível determinar a inversa de uma função?

Já vimos que uma função  f  é uma lei de correspondência que a cada ponto x do seu domínio associa exactamente um ponto y na sua imagem. Suponhamos que esta função seja tal que, para cada y na sua imagem, exista exactamente um x do seu domínio tal que  y = f(x) .Tais funções são ditas biunívocas .

Se uma função f é biunívoca a equação  y = f(x) pode ser resolvida para x , ou seja, é possível determinar a função g tal que  x = g(y) . Neste caso, f é invertível e g é a função inversa de  f .

Uma função f é biunívoca se  f(x1) f(x2) toda a vez que x1 ≠  x2 , qualquer que sejam  x1  x2 no domínio de  f . Uma função  f , biunívoca, é também invertível e a sua inversa é uma função g calculada da seguinte maneira:  x = g(y) <=> y = f(x) .

Qual o domínio de g ? Qual a sua imagem ?

Que função é esta ?  

Considere as funções  f1(x) =  e f2(x) = x2 .

  • Qual o maior domínio dessas duas funções ?

Calcule a função  h = f2 o f1 .

  • Qual o maior domínio dessa nova função?

Considere, agora, a função f(x) =  .

  • Qual o domínio dessa função? Para responder a essa pergunta, observe o gráfico da função f traçado abaixo:

[Maple Plot]

  • As funções f e h são iguais ?
  • É verdade que se f e h são funções inversas tem-se que f(g(x)) = x  e g(f(x)) = x ?
  • Para que valores de x valem essas identidades?
  • O que se pode concluir dos exemplos acima?

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