Gráficos de Funções Inversas

 

Já vimos que uma curva plana será o gráfico de uma função  y = f(x)  se uma recta vertical só interceptar essa curva em um único ponto e vimos que uma função será invertível se for biunívoca, isto é, se para cada y na imagem de f existir um único x no seu domínio tal que  y = f(x) .

  • O que significa geometricamente essa condição?

Para responder a essa pergunta, observe os exemplos abaixo:

  • Exemplo 1  (x - 2)3 em [-1, 1];

    [Maple Plot]

  • Exemplo 2   x2 em [-2, 2];

    [Maple Plot]

  • Exemplo 3  1 em [-2, 2] ;

    [Maple Plot]

  • Exemplo 4 x2 em [-1, 0];

    [Maple Plot]

  • Quais das funções acima são biunívocas e portanto invertíveis, no intervalo considerado?
  • O que podemos afirmar a respeito dos seus gráficos?

 

Se f e g são funções inversas então temos que

y = f(x) <=> x = g(y)

Por outras palavras, o ponto (x, y) está no gráfico de f  se, e só se, o ponto (y, x) está no gráfico de g.

  • Qual o significado geométrico da afirmação acima? 

 

A recta y = x é formada pelos pontos que têm abcissa igual à ordenada. Dado um ponto qualquer (x, y) do plano, o ponto (y, x) é o seu simétrico isto é, a sua imagem espelhada em relação a esta recta. Por outras palavras, a recta  y = x  é a mediatriz do segmento que liga  (x, y) a  (y, x) . Veja o gráfico abaixo:

[Maple Plot]

Assim, podemos obter o gráfico de uma função a partir do gráfico da sua inversa e vice-versa, reflectindo cada um dos pontos de um dos gráficos em relação à recta  y = x , como é mostrado abaixo.

[Maple Plot]

voltar ao início