Exercícios

Exercício 1

Sabe-se que f(x) = 2x - b é positiva para x > 4 e negativa para x < 4.

  • Quanto vale b ?
 

Exercício 2

  • O que se pode afirmar em relação a duas rectas de declives m1 e m2 se m1 = m2?
  • E se m1m2 = -1 ?
 

Exercício 3

  • Sabendo-se que duas rectas são paralelas, o que se pode afirmar a respeito dos seus declives?
  • E se as rectas forem perpendiculares?
  • Se um conjunto de rectas é descrito pelas equações y = mx + 1,  y = mx + 2 y = mx + 3, etc... O que se pode afirmar a respeito destas rectas?

Exercício 4

Se duas rectas são descritas pelas equações:

  • ( a ) y = x + 3
  • ( b ) y = √3x + 2 

Qual o ângulo que cada uma delas faz com o eixo x?

Exercício 5

Sejam duas rectas não verticais com declives m1 e m2, respectivamente. Prove que:

  • Se as rectas são perpendiculares, então m1 = - (1 / m2).
  • Se m1 = - (1 / m2) então as rectas são perpendiculares.
  • Se m1 = m2 , então as rectas são paralelas ou coincidentes.
  • Se as rectas se interceptam num ponto então  m1 m2  .

Exercício 6

  • Determine uma equação da recta que passa pelo ponto (1, 2) e é paralela à recta x + 2y = 3 
  • Determine uma equação da recta que passa pelo ponto (-2, 2) e é perpendicular à recta 
    2
    x + y = 4. Encontre o ponto de intersecção das rectas.
  • Determine uma equação da recta que passa pelo ponto (1, 4) e faz um ângulo de 60o com o eixo x .

Exercício 7

Se A, B, C e C' são constantes e A e B não são ambas nulas, mostre que as rectas:

  • Ax + By + C = 0  Ax + By + C' = 0   coincidem ou são paralelas.
  • Ax + By + C = 0  e  By - Ax + C' = 0  são perpendiculares.

 

Exercício 8

Um raio luminoso desloca -se, acima do eixo x, segundo a recta x + y = 1  e é reflectido ao tocar nesse eixo.

  • Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, escreva a equação da nova trajectória.

 

Exercício 9

  • Determine a equação da recta tangente ao círculo x2 + y2 = 1 no ponto (√2 / 2, √2 / 2).
  • Determine a equação da recta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1)?

Exercício 10

  • Se f(x) = ax + b é uma função linear afim com ≠ 0, mostre que existe uma função linear afim 
    g(x) = αx + β
      tal que f(g(x)) = g(f(x)) = x .
  • Qual a relação existente entre f e g?

 

Exercício 11

Um produtor teatral precisa decidir se monta a sua próxima peça num teatro da Zona Sul de Matematicalandia ou se opta por um teatro na Zona Norte. Para tomar tal decisão, ele levantou os seguintes dados:

Teatro Zona Sul Teatro Zona Norte
Investimento Inicial  100 000 00  40 000 00
Despesas Semanais  5 000 00  1 500 00
Capacidade do Teatro 200 lugares 100 lugares
Preço do Bilhete 10 00 6 00

A peça será apresentada durante 6 dias da semana e estima-se que seja possível vender 75% dos bilhetes, em ambos os teatros.

Seja y1 o lucro ou a perda da produção na Zona Sul e seja y2  o lucro ou perda da produção na Zona Norte.

  • Expresse  y1  e y2  como função do número X de semanas em que a peça permanece em cartaz.
  • Calcule, em cada caso, quantas semanas a peça deverá permanecer em cartaz para que o produtor não tenha prejuízo.
  • Refaça os cálculos do item anterior, supondo que seja possível vender 100 % dos ingressos.
  • Suponha que, em ambas as produções, seja possível vender C % dos ingressos semanais. Em cada um dos casos estudados, determine:
    • o número X de semanas, em que a peça deverá permanecer em cartaz para que a produção não dê prejuízo, como função de C.
    • o menor valor de C para que não haja prejuízo.

Seja P1 o lucro ou prejuízo da produção na Zona Sul, X semanas após a noite de estreia, expresso como uma percentagem do investimento inicial. Seja P2 essa mesma percentagem para a produção na Zona Norte.

  • Expresse P1 e P2 em função de X (considere que 75 % dos bilhetes possam ser vendidos).
  • Esboce os gráficos de P1 e P2, no mesmo sistema de eixos.
  • Discuta o que acontece com P1 e P2 quando X aumenta.
  • P1  será maior que P2  para algum valor de X? O que se pode concluir?

 

Exercício 1
2

Os aparelhos comuns de vídeo têm três velocidades de gravação: SP (standard play), LP (long play) e EP (extra long play). Usando uma cassete comum de vídeo (T 120) e a velocidade SP, podemos gravar programas de 2h de duração. Esse tempo aumenta para 4h e 6h, respectivamente, se usarmos as velocidades LP e EP. O modo SP garante a melhor qualidade de gravação. Quando os outros modos são usados, as informações são gravadas de modo mais condensado na fita havendo, consequentemente, perda de qualidade na gravação.

Suponha que se deseja gravar, numa única cassete, um filme de 3h de duração, com a melhor qualidade possível. Isto quer dizer que, em algum momento, é necessário mudar da velocidade SP (maior qualidade), para a velocidade LP (maior tempo de gravação). Se esse momento for correctamente calculado, a fita deverá estar completamente preenchida quando o filme terminar.

  • A partir do início da gravação, decorrido quanto tempo se deve mudar para a velocidade LP?
  • Supondo que a perda de qualidade entre os modos LP e EP é desprezável a olho nu, resolva o mesmo problema se mudarmos do modo SP para o modo EP.
  • Ache a função matemática que expressa o tempo total de gravação em função do tempo de gravação no modo SP, quando se usam duas velocidades diferentes, sendo uma delas, obrigatoriamente, a velocidade SP.

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