Outras formas de representação de uma recta

De um modo geral, toda recta é o gráfico de uma equação linear em x e y. Por outras palavras, o gráfico de uma equação da forma

(*)  Ax + By + C = 0

onde as constantes ou parâmetros A e B não são ambos nulos, é a representação de uma recta no plano cartesiano. Esta equação é chamada equação geral da recta.

De facto, qualquer recta pode ser obtida como o conjunto de pontos P(x,y) do plano, equidistantes de dois pontos fixos e distintos, P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂), como é mostrado no desenho abaixo:

Assim, toda a recta é o gráfico da condição PP₁ = PP₂ , onde P(x,y) é um ponto qualquer sobre a recta. Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:

que é equivalente a:

(x - x₁)² + (y - y₁)² = ( x - x₂)² + (y - y₂)²

Expandindo a expressão anterior e operando-a algebricamente segue que:

Fazendo, na expressão anterior, A = 2x₂ - 2x₁ , B = 2y₂ - 2y₁ e C = y₁² - y₂² + x₁² - x₂²  obtemos a equação (*).

• Porque é que as constantes A e B não podem ser ambas nulas?

• Qual o gráfico da equação acima se A e B são ambas nulas?

• Qual a equação de uma recta vertical? Qual a equação de uma recta horizontal?

• Qual a equação de uma recta que passa pela origem?

• Qual é o coeficiente linear da recta definida por (*)? Qual o seu declive?

Esta equação é conhecida como a equação da recta que passa pelos pontos (x₀, y₀) e (x₁, y₁)

De (*) também se deduz que:

y - y₀= m(x - x₀) 

Esta é a equação da recta que contém o ponto (x₀, y₀) e tem declive m.

Desta última fórmula, tomando-se (x₀, y₀) = (0, b) que é o ponto onde a recta corta o eixo y, obtemos:

y - b = mx

isto é

  y = mx + b

que é a equação da recta dada inicialmente, chamada equação reduzida da recta.

O gráfico da função y = mx + b é sempre uma linha recta?

Sabemos que, num sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar qualquer ponto do plano com um par de números da seguinte maneira: dadas duas rectas perpendiculares fixas e orientadas, ditas eixo x e eixo y , a coordenada x ou abcissa de um ponto P é a distância desse ponto ao eixo y , e a coordenada y ou ordenada de P é a distância desse ponto ao eixo x. Isto é, se P tem coordenadas x e y esses números representam as distâncias de P em relação aos eixos y e x , respectivamente.

Sabemos, também, que o gráfico de uma função y = f(x) é o conjunto de pontos no plano que satisfazem esta relação, isto é, os pontos que pertencem ao gráfico de uma função são os pontos do plano da forma (x, f(x)).

Assim, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função y = x é uma recta que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes aos eixos. Do mesmo modo, o gráfico da função y = 2x é a recta definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância y , ao eixo x, é duas vezes a sua distância ao eixo y . Repare que, neste sistema, as distâncias são medidas a partir de rectas paralelas aos eixos coordenados. Veja a figura abaixo onde traçamos, em conjunto, os gráficos das funções y = x  ,y = 2x e a malha rectangular usada, neste sistema de coordenadas, para medir as distâncias.

Vamos, agora, mudar o sistema de coordenadas. Em vez de duas rectas perpendiculares, vamos considerar um ponto e uma recta fixa. O ponto fixo será chamado foco e a recta fixa directriz e o sistema de coordenadas será chamado foco-diretriz.

Repare que, enquanto no sistema de coordenadas cartesianas as distâncias são medidas por rectas paralelas aos eixos coordenados, neste sistema as distâncias serão medidas por rectas paralelas à directriz e circunferências concêntricas ao foco. Veja a malha coordenada desenhada abaixo.

• No sistema de coordenadas foco-diretriz, qual será o gráfico da função y = x , isto é, qual o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à sua distância à directriz?

• Neste mesmo sistema coordenado, identifique o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual a k vezes a sua distância à directriz. Estude os casos em que k = 1, k < 1 e k >1.

Na secção Sistemas de Coordenadas, vimos um outro sistema coordenado, chamado Sistema de Coordenadas Polares, definido a partir de uma recta fixa (eixo polar) e de um ponto fixo (pólo), sobre essa recta. A coordenada x dum ponto, neste sistema, é definida como o ângulo que o raio que une o ponto ao pólo faz com o eixo polar e a coordenada y, como a distância do ponto ao pólo.

• Como seria o aspecto da malha coordenada nesse novo sistema? 

• Qual o gráfico da equação y = x neste sistema ou, equivalentemente, qual o lugar geométrico dos pontos cujo ângulo que a direcção ponto-polo faz com o eixo polar é igual à distância do ponto ao pólo?

• Como definiria um sistema de coordenadas bifocal? Como seria a malha coordenada neste novo sistema? Como poderia interpretar geometricamente a relação y = x? Como seria o gráfico deste lugar geométrico?

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