O Conceito de Função

 

Exemplo
1

Considere uma caixa d' água cúbica com base de 4 m2 de área. Uma torneira aberta despeja água a uma "velocidade" de 0.5 m3/h . A que altura estará o nível de água 1h depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas?

Em primeiro lugar, note que o volume, assim como a altura do nível da água, varia com o tempo. Sabemos também que o volume de água na caixa d' água em qualquer instante de tempo é igual a área da base da caixa vezes a altura do nível da água. Assim, denotando-se por V(t) e h(t) o volume e a altura do nível da água, respectivamente, num certo instante de tempo t teremos:

V(t) = 4h(t)

Por outro lado, o volume de água que entrou até o instante t é igual à velocidade vezes o tempo percorrido (no nosso caso t horas), isto é:

V(t) = t/2

Igualando as identidades acima obteremos:

h(t) = t/8

Esta equação fornece a altura do nível da água em cada instante de tempo t. Portanto, para determinarmos a altura do nível da água para t =1 h, t =2 h, t =3 h, ..., basta substituirmos t , na equação acima pelo valor desejado. Dizemos que a altura do nível da água depende ou é uma função do tempo. Essa dependência pode ser expressa em notação funcional pela expressão h(t)=t/8 que é chamada de representação analítica da função.

Uma função matemática é, essêncialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre elementos de dois conjuntos.

Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I .

Em particular, se os conjuntos D e I forem conjuntos de números reais, a cada número real x de D , deve corresponder, pela f, um único número real y em I .

O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domínio da função e o conjunto dos valores correspondentes de y chama-se imagem da função. O conjunto imagem, portanto, é um subconjunto de I . O conjunto I é denominado contradomínio de f .

Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domínio e chamar y de variável dependente, porque o seu valor depende da escolha de x .

Observe que, na definição de função, exigimos que a cada elemento do domínio, seja associado um único (um e apenas um) elemento da imagem. A razão dessa exigência não se deve a nenhuma restrição matemática. É uma convenção que tem por origem as descrições de fenómenos físicos e biológicos que são feitas por funções do tempo, ou seja, funções cuja variável independente é o tempo. O tempo, como os físicos o concebem, é uma grandeza monótona estritamente crescente, isto é, que não volta nunca para trás e, portanto, as relações que descrevem fenómenos físicos, associam a cada tempo um só evento dando origem à definição de função na forma como a entendemos hoje.

Podemos representar uma função por uma tabela, por uma expressão matemática do tipo y = f(x), ou por um gráfico. Devido à importância da representação gráfica de uma função, iremos estudá-la com mais detalhes na próximo secção.

A distância entre dois pontos do plano pode ser definida como uma função d que a cada par de pontos P1 e P2 e associa um número real positivo, d(P1,P2), com as seguintes propriedades:

  • 0 d(P1,P2) e d(P1,P2) = 0 se e só se P1 = P2
  • d(P1,P2) = d(P2,P1) (Simetria)
  • d(P1,P2) d(P1,P3) + d(P3,P2) , onde P3 é um ponto qualquer do plano. (Desigualdade Triangular)

Essas condições traduzem em linguagem matemática as propriedades que, intuitivamente, esperamos de uma função que sirva para medir distâncias, isto é:

  • A distância entre dois pontos deve ser sempre positiva e só se deve anular quando os pontos coincidirem.
  • A distância medida de um ponto P1 até um ponto P2 deve ser a mesma, quer essa medida seja feita de P1 a P2 ou de P2 a P1 .
  • A terceira propriedade diz-nos simplesmente que, dados três pontos no plano, qualquer lado do triângulo por eles formado é menor que a soma dos outros dois. Por isso, a desigualdade que traduz essa condição é chamada desigualdade triangular. (Em que caso vale a igualdade?)

Num Sistema de Coordenadas Cartesianas, a função que usualmente empregamos para medir a distância entre dois pontos P1 e P2 de coordenadas (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente, é dada pela fórmula

d(P1,P2) = d ((x1, y1), (x2, y2)) = [Maple Math]

que é uma decorrência do Teorema de Pitágoras da Geometria Euclidiana Plana e, por isso, é chamada de distância Euclidiana.

  • Verifique que a função que define a distância Euclidiana no plano, satisfaz as três condições dadas acima e, portanto, é uma boa função para medir distâncias.
  • Qual o seu domínio e qual a sua imagem?

Existem outras funções que satisfazem as propriedades acima e que, portanto, podem ser empregadas para medir distâncias no plano.

  • Verifique que a função d1(P1,P2) = d1((x1, y1 ), (x2, y2)) = | x1 - x2 | + | y1 - y2 |  pode ser utilizada para medir distâncias no plano.

Repare que, enquanto a distância euclidiana nos fornece o caminho mais curto entre dois pontos quaisquer do plano, medindo o segmento de recta que os une, a distância d1 representa a soma da medida dos catetos do triângulo formado pelos pontos (x1, y1 ), (x1, y2) e (x2, y2), isto é, " contorna o quarteirão " como faria um motorista de táxi para ir do ponto A de coordenadas (x1, y1 ) até um ponto B de coordenadas (x2, y2), veja a figura abaixo:

[Maple Plot]

Uma vez que tenhamos escolhido uma função para medir distâncias, podemos definir a circunferência como o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo C. O ponto fixo é chamado centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa circunferência.

Exemplo 2

A área da região pintada é limitada pelas rectas y = x, x = z e o eixo x, conforme mostrado na figura abaixo.

[Maple Plot]

Observe a animação abaixo, para ver que esta área depende da escolha de z .

[Maple Plot]

Neste caso, como a figura acima é um triângulo retângulo e isósceles, a sua área é dada pela fórmula
A(z) = (z2 / 2)

Há algumas propriedades das funções que iremos tentar explicar na secção de gráficos de funções, mas que enunciamos agora.

Dizemos que uma recta é uma assíntota ao gráfico de uma função quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à recta aproxima-se de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero.

Uma função é dita par se f(-x) = f(x) para todo x do seu domínio e é dita ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x do seu domínio. Nos dois casos entende-se que -x está no domínio de f  toda a vez que x está.

Uma função f  é dita crescente, quando f(x) cresce à medida que x cresce. Essa condição deve valer para todo x no domínio de f. Quando essa condição vale somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f é crescente naquele intervalo.

Uma função é dita decrescente, quando f(x) decresce à medida que x cresce. Essa condição deve valer para todo x no domínio de f . Quando essa condição vale somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f é decrescente naquele intervalo.

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