Gráficos de Funções

 

Por gráfico entendemos uma figura com o objectivo de transmitir uma informação qualquer. Os meios de comunicação (revistas, jornais, televisão) utilizam frequentemente este recurso para veicular de maneira clara, simples e compacta vários tipos de informação, tais como: resultados de pesquisa de opinião, dados estatísticos, variação de indicadores financeiros, etc.

O termo gráfico em matemática, geralmente é usado quando estamos a descrever uma figura por meio de uma condição que é satisfeita pelos pontos da figura e por nenhum outro ponto.

Uma das representações gráficas mais comuns e importantes em matemática é o gráfico de uma função.

Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos: gráficos de barras, correspondência ou relação entre conjuntos, gráfico cartesiano.

O gráfico cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano que satisfazem a condição y = f(x), ou seja, o gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano da forma (x, f(x)), com x variando no domínio de f.

Os gráficos cartesianos permitem visualizar "a forma" geométrica de uma função e as suas principais características.

Qualquer curva plana representa o gráfico de alguma função?

(Resolva o exercício abaixo. Ele poderá ajudá-lo a obter uma resposta para esta pergunta)

Verifique quais dos gráficos abaixo, são gráficos de funções:

( a )

[Maple Plot]

( b )

[Maple Plot]

( c )

[Maple Plot]

( d )

[Maple Plot]

( e )

[Maple Plot]

( f )

[Maple Plot]

Dos exemplos estudados no exercício anterior, podemos concluir que o gráfico de uma função é uma curva plana com a característica especial que qualquer recta vertical só a intercepta num único ponto.

  • Porque é esta condição necessária?
  • O gráfico de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo x ?
  • E em relação ao eixo y ?
  • O que representam os pontos onde o gráfico de uma função corta o eixo x ?

 

Dizemos que duas funções y = f(x) e y = g(x) são iguais se elas têm o mesmo domínio e se f(x) = g(x) , para todos os valores de x do seu domínio comum.

[Maple Math] e y = x + 1 não são iguais porque têm domínios diferentes. O ponto x = 1 pertence ao domínio de y = x +1, mas não pertence ao domínio de [Maple Math] .

O que acontece com os valores de f(x) quando x se aproxima de 1 ?

Para responder observe a animação abaixo:

[Maple Plot]

Dizemos, então, que o limite da função quando x tende para 1 é 2, ou em notação matemática, [Maple Math] .

Estudemos agora, a função [Maple Math] . É claro que esta função não está definida para x= 0. Além disso, lembrando que [Maple Math] , concluímos, imediatamente, que esta função é constante e igual a 1 para valores positivos de x , e é constante e igual a -1 para os valores negativos de x . Traçamos abaixo o gráfico dessa função.

[Maple Plot]

  • O que acontece com os valores dessa função, quando x se aproxima de zero pela direita?
  • E quando x se aproxima de zero pela esquerda ?

Notamos, neste caso, que o comportamento de f(x) difere daquele do exemplo anterior, pois a função assume valores diferentes, quando x se aproxima de zero pela direita e, pela esquerda. Neste caso, dizemos que a função não tem limite no ponto x = 0 .

Considere a função  y = (1 / x).. Pode-se concluir, imediatamente, que y assumirá valores positivos, quando x for positivo y será negativo quando x for negativo e que y não está definido quando x = 0. Mas, o que acontece com os valores da função, quando x se aproxima de zero?

Neste caso, notamos que à medida que x se aproxima de zero, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes de f(x) crescem sem limite, em valor absoluto. Dizemos, então, que quando x tende para zero pela esquerda, a função f(x) tende para - e quando x tende para zero pela direita, a função tende para + . Em notação matemática, escrevemos [Maple Math] e [Maple Math] , respectivamente.

Observe ainda, como este comportamento "aparece" no gráfico da função.

Podemos perceber que, à medida em que x cresce em valor absoluto, o gráfico da função  aproxima-se cada vez mais da recta y = 0 e, quando x se aproxima de zero, o gráfico da função  aproxima-se da recta x = 0.

A recta x = 0 é chamada assimptota vertical e a recta y = 0 é chamada assimptota horizontal ao gráfico da função.

Em resumo, dizemos que uma recta é uma assimptota ao gráfico de uma função quando, à medida que um ponto se move ao longo da curva, a distância desse ponto à recta aproxima-se de zero indefinidamente, sem nunca chegar a zero.

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