Funções Exponencial e Logarítmica - Aplicações

 

Juros Simples e Compostos

Um capital inicial C0 empregue a uma taxa de juros de r por cento ao ano, transforma-se, no final de um ano, num capital C1 dado por

C1 = C0 + r.C0 = C0(1 + r).

No final de outro ano, obtém-se:

C2 = C1(1 + r) = C0(1 + r)2

Desta forma, a fórmula geral para n anos será dada por:

Cn = C0(1 + r)n

Investidores inteligentes, aplicam o seu capital exigindo que os juros sejam capitalizados, isto é incorporados no capital ao fim de um período de tempo pré-determinado e então, novamente aplicado à taxa de juro contratada.

A fórmula, deduzida acima, só serve para um número inteiro de anos, de modo que não nos fornece o capital resultante no final de um mês, por exemplo. O capital empregue à mesma taxa r de juros deverá render, no final de um mês, r.C0 / 12 de modo que, decorrido um mês, o capital C0 transforma-se em C1 = C0(1 + r/12) e assim, reinvestindo o capital resultante a cada mês, no final de um ano obteremos um capital
 
C12 = C0(1 + r/12)12 , maior que aquele obtido através dos juros simples, calculado anteriormente.

A equação C  = C0(1 + r)n fornece, portanto, o capital C, resultante de um investimento inicial de C0 euros, empregue a juros de r % em cada período de tempo contratado, passados n desses períodos. Portanto C é um valor a ser atingido no futuro e C0 é o valor presente.

  • Usando essa equação, calcule o capital resultante de um investimento aplicado a uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada de 4 em 4 meses, no final de 5 anos.
  • Nas mesmas condições do item anterior, calcule por quanto tempo deve ser investida uma quantia hoje, para que seja obtido um capital igual a dez vezes o capital inicial.
  • Calcule o capital resultante, no final de 5 anos, de um investimento contratado a uma taxa nominal de 10% ao ano, a ser capitalizado de 4 em 4 meses se, no primeiro mês do contrato, aplica-se um capital inicial de 10 000 euros e, acrescenta-se mais 10 000 euros a este investimento, a cada 12 meses decorridos.
  • Suponha que, por 30 anos, você deposite  500 euros no final de cada mês, a uma taxa de juro nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. Use a equação acima, para calcular a quantia que você terá poupado no final dos 30 anos (360 meses).

Juros Compostos e o Número e

Um investidor mais exigente desejará que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transacção, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se chama de juros compostos.

Se tomarmos uma fracção 1/n do ano, empregando-se o capital com juros capitalizados, no final de um ano teremos um capital total de C  = C0(1 + r/n)n. Para, a partir dessa fórmula, obter uma outra que nos forneça o capital resultante de um investimento empregue a juros compostos, é necessário tomar sucessivamente fracções cada vez menores do ano. Isto, em matemática, é feito por um processo de limite.

Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicação feita a juros compostos será dado por

[Maple Math]

O número e é em geral definido como: [Maple Math]

A expressão acima significa que, fazendo-se sucessivamente n = 1, 2, 3, 4, ..., as potências resultantes aproximam-se cada vez mais do número e, e mais do que isso, podemos tornar o erro cometido nessa aproximação, tão pequena quando quisermos, bastando para isso considerar n suficientemente grande.

  • Usando esta definição, calcule uma aproximação para o número e com 3 casas decimais.

Levando-se em conta a definição acima, temos que um capital empregue a uma taxa de r por cento ao ano, a juros compostos a cada instante, será transformado, depois de t anos, em

 

Numa certa substância radioactiva, produzida artificialmente, verifica-se que a massa, em cada instante, é igual a metade da massa pesada 24 horas antes.

  • Supondo que a desintegração do material se processe continuamente e, dispondo-se de 2 kg dessa substância no momento em que se inicia a observação, quantos gramas restarão 57 horas depois? (Use o mesmo raciocínio utilizado para deduzir a fórmula para os juros compostos continuamente)

 

O método do carbono 14

Um dos métodos mais apurados para datar achados arqueológicos é o Método do Carbono 14 (C14), descoberto em 1949. O método é bem simples. A atmosfera terrestre é continuamente bombardeada por raios cósmicos. Estes raios cósmicos produzem neutrões que combinados com Nitrogénio produzem C14. O C14 é incorporado por Dióxido de Carbono e encontra-se na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de átomos de C14 presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de C14 é igual à quantidade de C14 desintegrado (o C14 é uma molécula instável, que se desintegra espontaneamente numa taxa proporcional ao número de moléculas de C14 presentes na amostra). Quando um organismo morre, cessa de ingerir C14 portanto, sua concentração nos tecidos diminui, devido à desintegração.

Em Física, é uma suposição fundamental que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cósmicos tem sido sempre constante. Consequentemente, se a taxa de desintegração de C14 numa amostra de madeira viva, por exemplo, fosse medida há 10.000 anos atrás, o resultado teria que ser igual à taxa de desintegração, numa amostra equivalente, medida hoje. Essa suposição permite-nos determinar a idade de uma amostra de carvão natural.

Seja N(t) a quantidade de C14 presente numa amostra no instante t e N0 a quantidade de C14 presente no instante t = 0, quando a amostra foi formada, isto é, imediatamente antes de ser queimada. Se k é a constante de desintegração radioactiva de C14 , então, temos que:

N(t) = N0.e(-kt)

A taxa actual R(t) de desintegração de C14, que é proporcional à quantidade de C14 presente na amostra, é dada por R(t) = K.N(t) = K.N0.e(-kt) e a taxa original é R(0) = K.N0.

Assim, (R(t) / R0 ) = e(-kt) de modo que .

A constante k pode ser determinada conhecendo-se a "meia-vida" do C14, isto é, o tempo que uma amostra leva para ficar reduzida à metade de sua quantidade inicial.

  • Calcule k, sabendo que a "meia-vida" do C14 é de 5730 anos.

Se medirmos a taxa actual R(t) e observarmos que R0 é igual à taxa de desintegração de C14 numa quantidade equivalente de madeira viva, podemos calcular t, a idade aproximada do carvão. Os dois problemas abaixo são ilustrações reais desse método.

  • O carvão das famosas cavernas Lascaux na França produziram uma média de 0,97 desintegrações por minuto, por grama de material. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6,68 desintegrações. Estime a idade do carvão e então, a provável data das famosas pinturas da caverna.
  • Em 1950, nas escavações em Nippon, uma cidade da Babilónia, o carvão de um telhado de madeira produziu uma média de 4,09 desintegrações por minuto, por grama. Madeira viva, numa amostra equivalente, produziu 6,68 desintegrações. Supondo que o carvão foi formado durante o reinado de Hammurabi, faça uma estimativa da época em que ele reinou na Babilónia.

 

Rumo às Estrelas (ou modelando um problema real)

No processo perpétuo de entender, explicar, e predizer resultados de fenómenos que ocorrem na natureza, o homem é levado à construção de modelos empíricos, onde leis matemáticas são obtidas pela análise de tabelas constituídas por dados experimentais. Nesse processo o uso de gráficos em escalas semi-logarítmicas e logarítmicas desempenha um papel de primordial importância, como é ilustrado no exemplo abaixo.

Em 1601, com a inesperada morte de Tycho Brahe, o astrónomo alemão e escritor de ficção científica Johann Kepler tornou-se director do Observatório de Praga. Kepler, antes disso, tinha sido assistente de Brahe e tinha ajudado a recolher dados referentes a 13 anos de observações relativas aos movimentos do planeta Marte. Em 1609, Kepler formulou as suas primeiras duas leis:

  • Cada planeta move-se sobre uma elipse com o sol num dos focos.
  • Para cada planeta, a recta que liga o sol ao planeta, varre áreas iguais em tempos iguais.

Kepler levou mais de uma década a verificar estas duas leis e formulando a terceira lei que relaciona períodos orbitais com distâncias médias do sol. Como todas as suas leis, essa também foi baseada em dados experimentais observados e, publicada em 1619, foi dedicada a James I, rei da Inglaterra.

Usando os dados experimentais (listados abaixo), deduza a terceira lei de Kepler.

Planeta T =Período ( dias ) R= Distância Média ao Sol ( km X106  )
Mercúrio 88 57,9
Vénus 225 108,2
Terra 365 149,6
Marte 687 227,9
Júpiter 4329 778,3
Saturno 10 753 1427
Urano 30 660 2870
Neptuno 60 150 4497
Plutão 90 670 5907

Na tentativa de encontrar uma lei matemática que descreva, apropriadamente, a relação existente entre T e R, isto é, encontrar T como função de R, a primeira tentativa a ser feita é traçar um gráfico unindo os pontos da tabela dada, como é feito abaixo:

A nossa tarefa, agora, é tentar descobrir se este é o gráfico de uma função exponencial do tipo T = C.eR ou de uma função potência do tipo T = C.Rn. No primeiro caso, aplicando-se o logaritmo a ambos os membros da equação obtemos:

ln(T) = ln(C.eR)

que é equivalente a

ln(T) = ln(C) + R

Chamando t = ln(T) e de A o número ln(C), obtemos da expressão acima:

T = A + R

Num gráfico, traçado em escala semi-logarítmica, onde o eixo das ordenadas é graduado em valores logarítmicos, isto é, são marcados, sobre esse eixo, os valores
de
t = ln(T), se a função que procuramos fosse do tipo exponencial, seria representada por uma linha recta.

Usando os dados do exemplo acima, obtemos:

Deste gráfico, concluímos, imediatamente, que a função que descreve o movimento planetário não pode ser do tipo exponencial. Tentemos, então, usar o mesmo raciocínio para descobrir se a função que queremos determinar é do tipo T = C.Rn. Neste caso, temos que:

ln(T) = ln(CRn

que é equivalente a

ln(T) = ln(C) + n.ln(R)

Chamando t = ln(T), r = ln(R) e c = ln(C), obtemos da expressão acima:

t = c + n.r

Num gráfico, traçado em escala logarítmica, onde, tanto o eixo das ordenadas, como o eixo das abcissas, são graduados em valores logarítmicos, isto é, no eixo das ordenadas são marcados os valores de  t = ln(T) e no eixo das abcissas, os valores de r = ln(R), se a função que procuramos for do tipo potência, a sua representação será uma linha recta.

Usando-se os dados do exemplo acima obtemos:

[Maple Plot]

Este gráfico nos mostra que a função que procuramos é do tipo T = C.Rn. Resta-nos agora, determinar C e n. Como a equação desta recta é dada por T = c +n.r, vemos que n é o seu declive e c, o seu coeficiente linear. Sendo, c = ln(C), temos que C = e c. Resolvendo as equações abaixo, calculamos n e C.

n = ln(365) - (ln(149,6)) / ln(225) - ln(108,2)

Daí, temos que  n := 1.49327560

  ln(225) = c + n × ln(108.2),o que implica que

c := -1.578374683 e, como

C = e(c) temos que:

C := 0.2063101452

Logo, a função que procuramos será T = 0.2R(3/2).

 

Outros exemplos de escalas Logarítmicas

A escala Ritcher

A tabela abaixo fornece a intensidade dos últimos terramotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensidades, medidas de acordo com a escala Ritcher.

Localização Data Leitura na Escala Ritcher
Chile 1960 8.4
Alasca 1964 8.5
Peru 1970 7.7
Irão 1990 7.3
Cidade do México 1985 8.1
Arménia 1989 6.9
São Francisco 1989 7.1

A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismólogo americano, Charles F. Ritcher, baseia a medida da magnitude de um terramoto numa escala logarítmica de base 10. A intensidade M de um terramoto, medida nessa escala, é um número que varia de zero até 8,9 para o maior terramoto conhecido.

  • Calcule, aproximadamente, quantas vezes a intensidade do terramoto que atingiu a Cidade do México, em 1985, foi maior que a intensidade do terramoto que atingiu a Cidade de São Francisco, em 1989.
  • Explique qual o significado físico da variação de 0.1 nessa escala de medida.
  • Sabendo que M é dada pela fórmula empírica [Maple Math] , onde E é a energia libertada no terramoto em quilowatt-hora e E0 = 7 ×10-3 kWh, calcule quanta energia é libertada num terramoto de grandeza 6.
  • Uma cidade com 300.000 habitantes utiliza cerca de 3 × 105 kWh de energia eléctrica, por dia. Se a energia de um terramoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia eléctrica, quantos dias de fornecimento de energia eléctrica, para essa cidade, seriam produzidos pelo terramoto do item anterior?

O PH de soluções

Em Química, o PH de soluções é uma medida da sua acidez ou alcalinidade. Um valor de PH igual a 7 indica que a solução é neutra (nem ácida, nem alcalina). Um PH abaixo de 7 indica acidez e, acima de 7, alcalinidade. A medida do PH obedece, também, a uma escala logarítmica onde a variação de uma unidade de PH representa um aumento de 10 vezes na acidez ou alcalinidade da substância.

  • Qual a base dos logaritmos usados na elaboração da escala de PH?
  • A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais ácidos que básicos (alcalinos). Observando a tabela abaixo, calcule, aproximadamente, quantas vezes o sumo de limão é mais ácido do que o leite.
Substância PH
Sumo de Limão 2.1
Sumo de Tomate 4.1
Água da torneira 5.8
Leite 6.6

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