Funções Logarítmicas e Exponenciais
Um pouco de História

No início do século XVII, a ciência na Europa deixava de ser especulativa e baseava-se cada vez mais em experiências concretas. O progresso nos diversos campos do conhecimento exigia uma teoria digna de crédito e, para isso, medições mais acuradas e operações algébricas mais sofisticadas eram necessárias.

Uma das grandes dificuldades, dessa época, residia no facto de que todas as contas eram feitas manualmente. Somar grandes quantidades e, principalmente, multiplicar números gigantescos eram tarefas nada fáceis. A multiplicação de dois números de cinco algarismos, por exemplo, envolve 25 multiplicações e uma adição!

Um dos métodos utilizados para efectuar grandes multiplicações era o uso de tábuas de funções trigonométricas, conhecidas desde os tempos de Ptolomeu (séc. II D.C.), operadas da maneira descrita abaixo.

Para multiplicar dois números a e b, primeiramente mudava-se a posição relativas das vírgulas e dos sinais até que os números a e b ficassem entre 0 e 1, então, procurava-se na tábua ângulos α e β  tais que sen(α) = a e cos(β) = b. Aplicando-se a fórmula

sen(α + β) +  sen(α - β) = sen(α).cos(β)

obtinha-se, usando as tábuas trigonométricas, os valores de sen(α + β) e de sen(α - β)  e daí, o produto desejado.

Uma outra ideia seria a de fazer uma tábua de multiplicações mas, tal tábua, para números naturais de 1 a 10.000.000, exigiria meio trilhão de multiplicações, o que para ser efectuado tomaria muito tempo. (Cerca de 600000 mil anos à base de 1/2 minuto por conta, sem dormir e sem comer, sem ir ao WC e sem namorar).

Usando a ideia básica das tábuas trigonométricas de transformar multiplicações em somas, Napier construiu, em 1614, a primeira tábua de logaritmos, que listava os logaritmos dos números maiores do que 1, numa enorme tabela. O sucesso do projecto de Napier foi de grande ajuda para pessoas como Johann Kepler, cujas análises de observações astronómicas exigiam cálculos laboriosos.

Os logaritmos gozam da seguinte propriedade operatória:

log(ab) = log a + log b

o que possibilitava que grandes multiplicações fossem efectuadas com esforço mínimo e ainda removia muitas das dificuldades do processo trigonométrico, possibilitando, por exemplo, a multiplicação de três ou mais factores, sem muito trabalho.

Essas tabelas deram origem às famosas réguas de cálculo que eram usadas por engenheiros, físicos e economistas até o início da década de 70, quando a popularização dos computadores e das máquinas de calcular tornou completamente obsoletas tanto as ditas réguas, como as famigeradas tabelas.

Hoje em dia, os logaritmos não são utilizados, explicitamente, para cálculos corriqueiros e não faz sentido aprender ou ensinar o uso das tais tábuas. A função logaritmo, que estudaremos a seguir, continua, no entanto, mantendo a sua importância teórica no estudo das funções reais e das equacões diferenciais.

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