Função Logarítmica - Logaritmo Natural

 

Para definirmos a função logaritmo precisaremos primeiramente estudar com atenção a função y = 1/x que é, uma hipérbole cujos ramos são simétricos em relação à origem.

O nosso objectivo é calcular a área de uma faixa de hipérbole, que é a área da região abaixo do ramo positivo de uma hipérbole, limitada inferiormente pelo eixo dos x e lateralmente por duas rectas verticais x = a e x = b, b > a.

Considere o ramo positivo da hipérbole y = 1/x representada pelo gráfico abaixo:

[Maple Plot]

Uma faixa de hipérbole é a região do plano limitada superiormente pela curva y = 1/x , inferiormente pelo eixo dos x (i.e. pela recta y = 0) e lateralmente por duas rectas verticais. Designaremos a faixa entre as rectas x = a e x = b com a notação Fa b. Veja no exemplo abaixo, a representação gráfica da faixa F0.5 2.

[Maple Plot]

Para calcular a área desta faixa, poderíamos, numa primeira tentativa, aproximá-la pela soma das áreas de rectângulos nela inscritos como mostra a figura abaixo:

[Maple Plot]

A soma das áreas dos rectângulos é igual a:

[Maple Math]

Observe como esta aproximação melhora, quando aumentamos o número de rectângulos de três para cinco.

[Maple Plot]

Fazendo, novamente, o cálculo da soma das áreas dos rectângulos, notaremos que o resultado é maior que o anterior e, como pudemos observar pelo gráfico acima, a soma destas cinco áreas é uma aproximação melhor para a área da faixa de hipérbole que se deseja calcular.

[Maple Math]

Continuando com o processo de considerar mais e mais rectângulos inscritos na faixa hiperbólica, subdividindo-a cada vez mais, obtemos aproximações cada vez melhores para a área que queremos calcular. Veja essa afirmação ilustrada na animação abaixo:

[Maple Plot]

A propriedade fundamental das áreas das faixas hiperbólicas é ilustrada abaixo:

[Maple Plot]

  • Qual a área dos dois rectângulos inscritos na hipérbole acima?

Essa propriedade pode ser generalizada da seguinte maneira:

Qualquer que seja o número real k > 0 , as faixas Fa b e Fak bk têm a mesma área.

  • Quanto vale a área de Fa a?

Desde que se convencione que areaFa b = - areaFb a temos claramente que quaisquer que sejam a, b e c reais positivos

areaFa b + areaFb c = areaFa

Logaritmos Naturais

Definiremos a função logaritmo e deduziremos as suas principais propriedades, baseando-nos inteiramente na propriedade fundamental das áreas das faixas de hipérboles. Definimos a função logaritmo pela fórmula:

ln(x) = areaF1

Com essa definição e usando a propriedade fundamental das áreas das faixas, podemos provar que, se x e y são ambos positivos, temos que

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

É claro, pela fórmula acima, que ln(xyz) = ln(x) + ln(y) + ln(z).

Pela continuidade das áreas das faixas, temos

ln(xy) = area(F1xy) =  area(F1x) +  area(Fxxy)

Usando a propriedade fundamental das áreas das faixas no último termo desta equação, obtemos:

area(Fxxy) = area(F1y) 

o que prova a igualdade desejada.

É fácil ver pela nossa definição e utilizando a convenção de que as áreas das faixas à esquerda de x = 1 são negativas, que a função ln satisfaz as seguintes propriedades:

ln(1) = 0;

ln(x) > 0 se x > 1;

ln(x) < 0 se x < 1.

não estando definida se x < 0.

Exemplo

Para calcular o ln(2) basta achar a área da faixa entre as rectas x = 1 e x = 2, sob a função f(x) = 1/x. Se fizermos esses cálculos, aproximando o valor da área por rectângulos inscritos, à medida que o número de rectângulos aumenta obteremos aproximações cada vez melhores para ln(2). A animação a seguir ilustra este facto.

[Maple Plot]

Calculemos agora o valor de ln(0.5), lembrando sempre da nossa convenção de que o valor das áreas à esquerda de x = 1 recebem o sinal negativo. Como anteriormente, observe a animação abaixo:

[Maple Plot]

Uma estimativa para o valor de ln(0.5), obtida com 100 rectângulos inscritos, pode ser calculada assim:

[Maple Math]

Observemos que

ln(1x/x) = ln(1/x) + ln(x) = ln (1) = 0

e, consequentemente

ln(1/x) = - ln(x).

Com isso podemos concluir, imediatamente, que:

ln(x/y) = ln(x) - ln(y).

Também temos, como consequência imediata da nossa definição de logaritmo, que para todo número natural m, vale:

ln(xm) = m.ln(x) e ln(x(1/m)) = ln(x)/m.

Podemos, ainda, observar que essas fórmulas continuam válidas para quaisquer valores de m racional, já que:

[Maple Math] = [Maple Math]

  • É possível provar que essa última fórmula vale para m irracional?

O Gráfico da Função Logaritmo

Como já vimos, definimos o gráfico de uma função f, como o subconjunto do plano formado pelos pontos (x , f(x)), onde x varia no domínio de f.

Assim, o gráfico da função ln é dado pelo conjunto:

G={(x, ln(x)); x > 0}.

Além disso, pela definição de logaritmo e continuidade das áreas, é fácil ver que a função ln é crescente e assume todos os valores reais entre (- ∞, ∞). Para isso, basta observar que a área da faixa da hipérbole f(x) = 1/x aumenta, à medida que x cresce e a fórmula ln(2m) = m.ln(2) permite concluir que existem logaritmos arbitrariamente grandes. Além disso como ln(1/x) = - ln(x), à medida que x se aproxima de zero, os valores de ln(x) tornam-se arbitrariamente grandes e negativos. Uma consequência importante dessas afirmações é que qualquer número real é o logaritmo de um único número real positivo.

Observando o gráfico da função f(x) = 1/x, notamos, também, que as áreas correspondentes a faixas de mesma base diminuem à medida que caminhamos no sentido positivo do eixo dos x. Isto quer dizer que a inclinação do gráfico da função ln(x) deve decrescer com x.

Em resumo, o gráfico de y = ln(x) é uma curva contida no primeiro e quarto quadrantes, que corta o eixo x no ponto x = 1, e que assume valores positivos para x > 1 e valores negativos para x < 1 . Além disso, ln(x) é uma função crescente cujo gráfico deve apresentar inclinação decrescente, como pode ser visto abaixo:

[Maple Plot]

Podemos observar na figura abaixo, que embora crescente, o gráfico da função y = ln(x) está sempre abaixo do gráfico da função y = x.

[Maple Plot]

Isto quer dizer que qualquer que seja x real temos ln(x) < x.

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