O número e e a Função Exponencial

Como vimos na secção anterior, existe um único número real positivo cujo logaritmo natural é igual a 1. Tal número é o chamado número de Neper e será representado pela letra e. O aparecimento do número e está ligado a um lorde escocês chamado Neper, que em 1614 publicou um livro que lhe levou mais de 20 anos a escrever e que revolucionou a Matemática da época. Neper não se apercebeu da importância deste número. Só um século depois com o desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal, se veio a reconhecer o papel de relevo do tal número.

Temos então que e >1 pois se e fosse menor que um seu logaritmo seria negativo. Além disso,  ln(2) < 1 e ln(3) > 1 e, portanto, podemos concluir que 2 < e < 3.

O número e será portanto, a abcissa do extremo direito da faixa de hipérbole, cuja abcissa inicial é igual a um e cuja área (logaritmo) também é um, isto é

ln(e) = F1e = 1

ou ainda

ln(x) = 1 <=> x = e

como pode ser visto no gráfico abaixo:

[Maple Plot]

Pode-se demonstrar que o número e é um número irracional.

A partir da definição do número e , e das propriedades já demonstradas da função logaritmo, é fácil ver que, para qualquer número racional r , temos que

y = e r <=> ln(y) = r

Motivados por esta propriedade, vamos definir a função e x  como o único número positivo cujo logaritmo natural é x, qualquer que seja o número real x , isto é

y = e x <=> ln(y) = x

Geometricamente, y = e x é a abcissa que devemos tomar para que area(F1y) = x.

Repare que esta definição coincide com a definição usual de potência, quando x é um número racional.

Se reflectirmos o gráfico da função ln(x) em torno da recta y = x, encontraremos uma função crescente, definida qualquer que seja o número real x, assumindo todos os valores positivos, que é, como já vimos, a inversa da função ln(x) isto é, encontraremos uma função g tal que

ln(x) = y <=> g(y) = x, qualquer que seja y > 0

Os gráficos dessas funções, traçados em conjunto, podem ser vistos abaixo:

[Maple Plot]

De acordo com a definição dada para a função e x , temos que g(x) = e x e concluímos que a correspondência x e x  define uma função, chamada função exponencial, cujo domínio contém todos os números reais e cujo gráfico foi obtido acima. Essa função é a inversa da função logaritmo natural e valem portanto, as seguintes igualdades:

ln(e x) = x e e ln(x) = x

para todo o número real x e para todo y > 0.

Dessa definição segue, imediatamente, que quaisquer que sejam os números reais x e y

e(x + y) = e x + e y

que é a propriedade fundamental da função exponencial. Daí, temos também que, para todo real x,

e (-x)= 1/(e x).

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