Logaritmos e Exponenciais em Diversas Bases

 

A hipérbole y = 1/x deu origem aos logaritmos naturais. De maneira análoga, poderíamos repetir todos os passos dados, usando a hipérbole y = k / x. Esse procedimento daria origem a uma nova família de logaritmos para cada valor de k escolhido.

 

Definimos a função log(a) = area F(k)1a onde F(k)1a é a faixa da hipérbole

 y = k / x compreendida entre as rectas x = 1 e x = a.

Observe que esta área é igual a k vezes a área equivalente, sob a curva y = 1/x  . Isso mostra-nos que: 

log(a) = k.ln(a).

Chamamos base de um sistema de logaritmo ao número b para o qual log(b) = 1.

O logaritmo natural, com o qual trabalhámos até agora, tem como base o número e.

Para calcular a base de um sistema de logaritmos, é preciso descobrir o número b tal que, a área da faixa de hipérbole que vai de 1 até esse número seja igual a 1. Temos então que

log(a) = k.ln(a) = 1, o que leva a k = 1/ (ln(b))  ou b = e (1/k).

Fazendo, por exemplo, k =1.5, temos o seguinte valor para b:

b := 1.947734041054467585663902120793

e a área da faixa F(k)1b será igual a 1. Um cálculo aproximado dessa área pode ser feito como das vezes anteriores. Veja a animação abaixo.

[Maple Plot]

  • O que acontece à medida que n aumenta?

A notação para o logaritmo de base b de um número x > 0 é logb(x).

Como logb(x) = k.ln(x) e k = 1/ (ln(b))   temos logb(x) = ln(x) / (ln(b)).

Fazendo x = e, vem que  logb(e) = 1/ (ln(b)), o que leva a

logb(x) = logb(e) . (ln(x)).

Sendo a > 1 e b > 1, podemos deduzir como passar da representação do logaritmo numa base qualquer a, para a representação noutra base b. Para isso escrevemos:

logb(x) = logb(e) . (ln(x))

loga(x) = loga(e) . (ln(x))

Dividindo uma equação pela outra, obtemos: [Maple Math] , mas, como já tínhamos visto que logb(x) = ln(x) / (ln(b)), temos logb(e) = 1/ (ln(b)) e loga(e) = 1/ (ln(a)), logo [Maple Math] = logb(a), o que nos leva a:

logb(x) = loga(x) . logb(a)

que é a fórmula de mudança de base para os logaritmos. É fácil demonstrar que todas as fórmulas para o produto, potenciação, divisão etc. continuam válidas e, em particular, notemos que

 loga(b) . logb(a) = 1.

Usaremos agora, esse novo sistema de logaritmos, para definir a função ax, para qualquer número real x.

Dado a > 0 e x um número real qualquer, define-se ax como o único número real positivo cujo logaritmo natural é igual a x.ln(a). Repare que para x racional, essa definição coincide com a definição usual para a potência ax.

Da definição acima temos que:

 logb(ax) = (ln(ax)) / (ln(b)) =  (x.ln(a)) / (ln(b)) = x.logb(a) isto é:

 logb(ax) = x.logb(a)

Em particular, para b = a, temos:

loga(ax) = x

A fórmula acima, faz-nos recair na definição tradicional de logaritmo. O logaritmo de um número y = ax é o expoente x, ao qual devemos elevar a base a fim de obter o número y dado.

Da fórmula  ln(ax) / x.ln(a) obtemos:

ax = e (x.ln(a))

É fácil demonstrar que todas as propriedades para a função exponencial de base e continuam válidas para a função exponencial de base a qualquer e, em particular, notemos que:

(ax) y = a(xy)  ax. ay = a(x + y) 

A dificuldade de lidar com funções potência do tipo ax está no problema de defini-las num número irracional x, a partir da sua propriedade fundamental ar. as = a(r + s) . Por outro lado, essa mesma dificuldade aparece se definirmos, como a maioria dos livros didácticos o faz, a função logaritmo como a inversa da exponencial, isto é, loga(x) = y <=> ay = x. Lembrando que o conjunto dos racionais é denso nos reais, ou seja, que é sempre possível aproximar, com qualquer precisão, um dado número real por um racional, é claro que se pode achar um valor aproximado para ax tão bom quanto se queira, no entanto, desenvolver a teoria das potências com expoente real para servir de base ao estudo dos logaritmos é um processo longo.

À primeira vista parece que, com a popularização do uso de computadores e máquinas de calcular, as funções logaritmo e exponencial tornaram-se tão obsoletas quanto as antigas réguas de cálculo, mas o que acontece é justamente o contrário. Essas funções são o instrumento matemático adequado para modelar problemas onde a quantidade que se quer calcular varia proporcionalmente à quantidade presente em cada instante. Exemplos típicos e aplicações dessa situação podem ser encontrados nos exercícios propostos na secção dos Exercícios.

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