Funções Compostas

 

Em muitos problemas aparecem situações onde é necessário definir e calcular uma função em pontos que são imagem de uma outra função. De um modo geral, dadas as funções y = f(x) e y = g(x) , a função composta h = g o f  é definida por h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) . Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de f estiver contida no domínio de g . Abaixo exemplificamos uma situação desse tipo.

Exemplo 1

Letras a b c d e f g h i j l m n o p q r s t u v x z
Números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Criou-se um código para transmitir mensagens secretas, da maneira descrita a seguir. Usando a função f definida acima no quadro, cada letra da mensagem é "transformada" num número. A seguir, esse número é multiplicado pelo número correspondente ao mês do meu aniversário e o resultado é somado com a minha idade. Nasci em 19 de Janeiro e tenho 22 anos.

  • Defina a função g correspondente à última parte desta codificação.
  • Usando as funções f e g , defina a função h que corresponde ao código matemático criado. Qual o domínio dessa função? Qual o seu contra-domínio?
  • Use o método acima para codificar a palavra Rita.

O código criado é um exemplo de composição de duas funções. Dizemos, nesse caso, que h(α) = g(f(α)) , qualquer que seja a letra α do nosso alfabeto, ou que h = g o f . Repare que, para que h faça sentido, é necessário que o domínio de g coincida com a imagem de f  

  • É possível no caso acima definir a função f o g ?

Exemplo 2

Considere um quadrado cujo lado tem x cm. de comprimento . A sua área A, então, é uma função de x cuja expressão analítica é dada por A = x2 . Suponha, agora, que o comprimento do lado varia com o tempo t , dado em segundos, e seja, portanto, A uma função de t . Considere, por exemplo, x = 5t + 1 . Assim, a área do quadrado também varia com o tempo, ou seja, A=A(x) = A(x(t)) = (5t + 1)2  . A função  A(x(t)) = (5t + 1)2  é formada pela composição da função quadrática x2 com a função linear 
5t + 1  e é um outro exemplo de função composta.

Repare também que, em geral, g o f f o g , como acontece no exemplo abaixo.

Exemplo 3

Considere as funções g(x) = 3x2 + 2 f(x) =  . Temos então que: (g o f)(x) = g(f(x)) = g()= 3()2 +2 = 3x + 2  e (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3x2 + 2) =  .

Claramente, neste caso, g o f é diferente de  f o g  .

 

Exemplo 4

Considere as funções g(x) = cos(x) e f(x) = x2 . Temos então que:

g o f = cos(x2)

f o g = cos2(x)

f.g = x2.cos(x)

Estas funções estão definidas para todo x. As figuras abaixo, ilustram claramente quão diferentes são estas três funções:

cos(x2)

[Maple Plot]

cos2(x)

[Maple Plot]

x2.cos(x)

[Maple Plot]

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