Polinómios

Um polinómio de grau n é uma função da forma

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₂x² + a₁x + a₀

onde os coeficientes a₀, a₁,..., a_n são números reais conhecidos, a_n ≠ 0 e n é um número natural.

Polinómios aparecem na resolução de muitos problemas, por isso é importante estudá-los com um pouco mais de cuidado. 

A função linear afim y = ax + b, cujo gráfico é uma recta, e a função quadrática y = ax² + bx + c, cujo gráfico é uma parábola, são exemplos de polinómios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinómio de grau zero é uma função constante. Cada uma das parcelas a_ixⁱ de um polinómio, é chamada monómio de grau i.

• Dado um polinómio p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+  a₂x² + a₁x + a₀, qual o significado geométrico da constante a₀?

• O que se pode afirmar quando a₀ = 0?

Para descobrir a resposta aos itens anteriores, no polinómio y = 2x⁴  - 3x³ -4x² -1x + 2 cujo gráfico é dado abaixo, foi alterado o valor da constante  a₀. Verifique o efeito que esta mudança acarreta no gráfico da função.  a₀ = 2, -10, 20, -20, 10

Os exemplos mais simples de polinómios são as funções de potências da forma 1, x, x², ..., xⁿ .

Abaixo, estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes funções potência de grau ímpar

f(x) = x³ , g(x) = x⁵ , h(x) = x⁷

• Quais são as principais características dos gráficos dessas funções?

• Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do e do , se n é ímpar ?

• Este facto pode ser generalizado? (Isto é, se p(x) é um polinómio de grau ímpar, o que acontece com os valores de p(x) quando x tende para + ∞? E quando x tende para -∞?)

  (A análise gráfica, feita abaixo, poderá ajudá-lo a responder a essa pergunta.)

Observe os gráficos das funções y = x⁹ e y = x⁹ +3x⁶ + 7x⁴ - x traçados juntamente.

• O que se pode afirmar em relação ao comportamento dessas duas funções à medida que x cresce, em valor absoluto?
• Qual o limite dessas duas funções quando x tende para + ∞? E quando x tende para -∞?
• Este facto pode ser generalizado, isto é, um polinómio de grau ímpar comporta-se como o seu monómio de maior grau quando x cresce, em valor absoluto? 
• Se p(x) é um polinómio de grau ímpar o que se pode concluir a respeito do limite de p(x) quando |x|→∞?

Abaixo estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes funções de potência de grau par

f(x) = x² , g(x) = x⁴ , h(x) = x⁶ e i(x) = x⁸ 

• Observando os gráficos traçados, o que pode concluir a respeito do e do , se n é par ?
• Este facto pode ser generalizado? (Isto é, se p(x) é um polinómio de grau par, o que acontece com os valores de  p(x) quando x tende para + ∞? E quando x tende para - ∞ ? ).

Para responder a essa pergunta vamos fazer a mesma análise gráfica que utilizamos para estudar o comportamento no infinito dos polinómios de grau ímpar.

Examine, abaixo, os gráficos das funções y = x¹⁰ e y = x¹⁰ +3x⁷ + 7x⁴,

• Este facto pode ser generalizado? Isto é, um polinómio de grau par comporta-se como o seu monómio de maior grau, quando x cresce em valor absoluto?
• Se p(x) é um polinómio de grau par o que se pode concluir a respeito do limite de p(x) quando |x|→∞?

Observe a animação abaixo onde são traçados os gráficos das funções y = xⁿ  para n de 2 até 20 no intervalo [0,1].

• Explique porque é que, à medida que n cresce, esta sequência de gráficos se aproxima da recta y = 0.

• Este mesmo comportamento verifica-se no intervalo [1,2]?

• O que acontece, nesse intervalo, com os gráficos dessas funções, à medida que n cresce? (Observe a animação abaixo.)

Considere a função y = ax² + bx³ . Abaixo, traçamos o gráfico dessa função para b =1 e a = 1, a = 2 , a = 3, a = 10

• Observe as mudanças que ocorrem no gráfico desta função.

• Repetimos o procedimento, agora para  a = 1 e b = 0.2, b = 0.3, b = 0.001.

Dos exemplos anteriores, podemos concluir que, dependendo do tamanho relativo das constantes a e b , existe um intervalo em que a função y = ax² + bx³ se comporta como x².

Como determinar os extremos de um polinómio de terceiro grau?

Determinar os extremos (máximos e/ou mínimos) de uma função é um problema de primordial importância, tanto em matemática como na vida real.

Problemas do tipo:

• Como determinar a velocidade inicial mínima para que um projéctil possa escapar da atracção gravitacional da Terra?

• Como determinar o mínimo de material a ser gasto no fabrico de uma lata cilíndrica de volume fixo?

• Como determinar as dimensões da haste rectangular mais rígida que se pode fabricar de um tronco cilíndrico de raio dado?

A princípio, conhecendo-se o gráfico da função que modela o fenómeno que se quer estudar, é fácil localizar visualmente os seus máximos ou mínimos no intervalo considerado. Esta afirmação é exemplificada, na figura abaixo, onde está traçado o gráfico da função f(x) = x(20 - 2x)² no intervalo [0, 10] .

Este método é extremamente impreciso e pode-nos levar a resultados enganosos. Examine, por exemplo, os gráficos abaixo, onde usamos intervalos diferentes para traçar o gráfico da função 
y = 50sin (x) + 0.5sin (50x).

x varia entre -π e π .

x varia entre 1 e 2.

• Qual o máximo global desta função no intervalo [-π, π]?

Dizemos que um ponto (x₀, f(x₀)) é um ponto máximo (mínimo) relativo ou local de uma função f, quando f(x₀) é o maior (menor) valor da função em qualquer intervalo em torno de x₀ .Por outras palavras, (x₀, f(x₀)) é um ponto de máximo (mínimo) relativo da função f, se f(x₀) é o maior (menor) valor da função, numa certa vizinhança de  x₀.

Observando o primeiro gráfico que traçamos, poderíamos concluir que a função dada tem somente um máximo e um mínimo relativos no intervalo [-π, π], o que é uma conclusão completamente falsa, como mostra o segundo gráfico.

Na Secção Funções Quadráticas - Parábolas, completando o quadrado da expressão ax² + bx + c, foi possível determinar, facilmente, o vértice da parábola dada pela equação f(x) = ax² + bx + c. Dependendo do sinal de a, o vértice assim calculado pode ser um máximo ou um mínimo global da função quadrática. Este resultado foi usado para resolver vários problemas envolvendo a determinação de máximos e mínimos.

Como desenvolver um método, baseado em ideias geométricas, para determinar os extremos relativos de um polinómio do terceiro grau, sem fazer uso de resultados do Cálculo?

Sabemos que a função y = Ax³ é sempre crescente (quando A > 0), ou sempre decrescente (A < 0) e que o eixo x tangencia o gráfico desta função no ponto (0,0). Este polinómio, portanto, não tem nem máximos, nem mínimos locais. O ponto (0,0) é dito um ponto de inflexão da função, pois a concavidade da curva muda de sentido, neste ponto. Veja este comportamento evidenciado nos gráficos abaixo.

  y = x³

  y = -x³

O gráfico da função  y = A(x - B)³ + C pode ser obtido a partir do gráfico de  y = Ax³ por meio de duas translações, uma na direcção vertical outra, na horizontal, e portanto, apresenta o mesmo comportamento descrito acima, com ponto de inflexão localizado em (B, C). Veja os exemplos abaixo:

y = 3(x - 2)³ + 10

y = -2(x + 4)³ - 20

Observe, agora, os gráficos das funções y = 2x²(x - 4)  e y = -4x²(x + 3).

y = 2x²(x - 4)

y = -4x²(x + 3)

Estas funções têm dois extremos relativos (um máximo e um mínimo), um dos quais localizado no ponto (0,0), onde o eixo x tangencia o seu gráfico.

Se A > 0, o e o . Desses limites podemos concluir que funções deste tipo crescem até atingir o seu máximo, depois decrescem até o seu mínimo e, a partir daí, voltam a crescer ilimitadamente.

Se A < 0 ocorre o contrário, isto é, e e a função decresce até atingir o seu mínimo, depois cresce até atingir o máximo, voltando a decrescer, ilimitadamente, a partir daí.

Funções do tipo  y = Ax²(x - B)+ C comportam-se como as estudadas nos dois exemplos anteriores, pois os seus gráficos podem ser obtidos a partir daqueles, por meio de uma translação na direcção vertical. Nesse caso, um dos seus extremos relativos estará localizado no ponto (0, C). Dependendo dos sinais de A e de B, este extremo será um máximo ou um mínimo relativo da função considerada.

Expandindo-se as expressões A(x - B)³ + C e Ax²(x - B)+ C , que aparecem nas definições das funções estudadas acima, obtemos, no primeiro caso,

Ax³ - 3ABx² + 3AB²x - AB³ + C

e no segundo caso

Ax³ - ABx² + C

que são casos particulares do polinómio geral do terceiro grau y =Ax³ + Bx² + Cx + D. Estes últimos polinómios comportam-se como y = Ax³ ou, como y = Ax²(x - B).

No primeiro caso, serão sempre crescentes (A > 0), ou sempre decrescentes (A < 0) e terão um ponto de inflexão. Por meio de translações é possível fazer com que este ponto de inflexão coincida com a origem do sistema de coordenadas.

No segundo caso, estes polinómios terão um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, de coordenadas  (x₁, f(x₁)) e  (x₂, f(x₂)), respectivamente. Se A > 0, temos que  (x₂ <x₁). Se A < 0, então (x₁ < x₂). Por meio de translações é possível fazer com que um desses extremos coincida com a origem.

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