Funções Racionais

 

Os polinómios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinómios. No entanto, se dividirmos polinómios nem sempre obteremos outro polinómio. Esse quociente é chamado função racional, isto é, uma função racional f(x) é do tipo

f(x) = n(x) / d(x),

onde n(x) e d(x) são polinómios. Se o denominador d(x) fôr uma constante não nula, esse quociente será ele próprio um polinómio. Assim, os polinómios estão incluídos entre as funções racionais.

Evidentemente, nos pontos onde d(x) = 0 a função f não está definida e, portanto, o maior domínio possível de uma função racional é constituído pelo conjunto dos números reais exceptuando-se esses pontos. Os zeros de d(x) são chamados pólos ou pontos singulares da função f .

Como os polinómios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando x cresce em valor absoluto. Além disso é importante, também, estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares pois, em redor desses pontos, podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos ainda, que dão origem às assíntotas verticais do gráfico de uma função, caso essas assíntotas existam.

O objectivo desta secção é estudar o comportamento de uma função racional em torno dos seus pontos singulares e também o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor, igual e maior que o grau do denominador.

De um modo geral se o grau do numerador fôr maior ou igual ao grau do denominador, podemos escrever n(x) = d(x) q(x) + r(x) onde o grau de r(x) é menor que o grau de d(x), o que nos dá :

f(x) = q(x) + r(x) / d(x) 

Essa forma de exprimir a função f(x) é ideal para estudarmos o seu comportamento no infinito. Como o grau do denominador da segunda parcela é maior do que o do numerador, este termo tende para zero quando |x|, o que nos leva a concluir que [Maple Math] , isto é, o polinómio comporta-se como q, para grandes valores de x, em valor absoluto.

Neste caso, dizemos que o gráfico de f(x) é assintótico ao gráfico de q(x). Por outras palavras, à medida que x cresce, em valor absoluto, o gráfico de f(x) aproxima-se cada vez mais do gráfico de q(x), sem nunca atingi-lo. Se o gráfico de q(x) for uma recta, dizemos que esta recta é uma assíntota ao gráfico de f.

Vamos, a seguir, examinar alguns exemplos.

Exemplo 1

Observe abaixo os gráficos das funções y =1/x e y =1/x2 , respectivamente:

 

Repare que, nos dois casos, o pólo das duas funções é o ponto x = 0 e que os valores das duas funções se tornam ilimitados quando x se aproxima de 0. (A recta y = 0 é uma assíntota vertical ao gráfico das funções). Além disso, nos dois casos, [Maple Math] e, portanto, a recta x = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessas funções.

Este comportamento é típico das funções racionais cujo grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Para ilustrar esta afirmação, examinemos um outro exemplo.

Exemplo 2

Considere a função [Maple Math] .

  • Qual o seu maior domínio?

Para estudar o comportamento dessa função perto dos pólos, é suficiente calcular [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] e [Maple Math] . Em todos estes casos, os valores da função crescem sem limite, em valor absoluto. Este comportamento traduz-se, matematicamente, dizendo-se que a função tende para + ou para - e ocorre sempre que os valores do denominador se aproximarem de zero e os do numerador se aproximarem de uma constante diferente de zero. (Nada se pode afirmar, a priori, se o limite do numerador também fôr igual a zero). O sinal dependerá do sinal da fracção quando x se aproximar do pólo, pela esquerda ou pela direita.

No exemplo acima temos [Maple Math] porque a fracção assume valores positivos, cada vez maiores, à medida que x se aproxima de 1, por valores maiores que 1 e [Maple Math] , porque a fracção é negativa e assume valores cada vez maiores, em valor absoluto, quando x se aproxima de 1 e, portanto, está próximo de 1, pela esquerda (isto é, por valores menores que 1).

Da mesma forma, [Maple Math] e [Maple Math]

As rectas x = 1 e x = -1 são assíntotas verticais ao gráfico dessa função.

Estudaremos, agora, o comportamento da função quando x cresce em valor absoluto. Para isso precisamos calcular os limites da função quando x tende para + e quando x tende para - .

Do nosso estudo sobre polinómios, sabemos que o comportamento de um polinómio, quando x cresce em valor absoluto, é determinado pelo seu monómio de mais alto grau e que, quanto mais alto o grau, mais rápido é o crescimento da função.

Assim, [Maple Math] e [Maple Math] . Como os valores do denominador crescem mais rápido do que os do numerador, o comportamento da fracção, para grandes valores de x, é determinado pelo comportamento do denominador, isto é, os valores da função aproximam-se de zero à medida que x cresce. Este facto torna-se mais evidente se dividirmos numerador e denominador pelo monómio de mais alto grau que aparece na fracção e então estudarmos o comportamento da função modificada. Assim, [Maple Math] = 0.

Repare que esta operação é possível, porque estamos a estudar o comportamento da função para valores grandes de x, e, portanto, x ≠ 0.

Da mesma forma, temos que [Maple Math] .

A recta y = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessa função. Observe abaixo o seu gráfico.

 

Exemplo 3

Analisemos agora a função y = (x2 - 4)/x . Veja, abaixo, o seu gráfico.

Essa função não está definida para x = 0. O seu comportamento na vizinhança desse ponto, é traduzido pelas expressões [Maple Math] e [Maple Math] . A recta x = 0 é, portanto, uma assíntota vertical ao gráfico dessa função. Além disso temos [Maple Math] = e, pelo mesmo raciocínio, [Maple Math] . Estes limites indicam que esta função não tem assíntotas horizontais. No entanto, a expressão (x2 - 4)/x = x - 4/x  sugere que o [Maple Math] . Este limite significa que à medida que x cresce, os valores da função aproximam-se cada vez mais da recta y = x e, portanto, essa recta é uma assíntota oblíqua ao gráfico dessa função.

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