Exercícios

Exercício 1

Identifique nos gráficos abaixo os sinais de a e de Δ .

  • ( a )

  • ( b )

 

Exercício 2
  • Ache dois números cuja soma é 13 e o produto 40.
  • Calcule o valor de m na equação 3x2 - mx + 18 = 0 de modo que uma de suas raízes seja 2.
  • Calcule o valor de m na equação x2 - 16x + m = 0 de modo que uma raiz seja o triplo da outra.
  • Calcule o valor de k na equação 2x2 - (k + 2)x = 3 - k de modo que uma das raízes seja igual à metade da outra.

Exercício 3

Mostre que se x1 e x2 são as raízes da equação ax2 + by + c = 0 , então ax2 + by + c = (x - x1)(x - x2).

    Sugestão : Escreva a equação na forma soma-produto.

Exercício 4

Um agricultor tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma rectangular.

  • Quais as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima?

Exercício 5

Suponha que o agricultor do problema anterior, decida construir o curral com aproveitamento da parede de um celeiro, de modo a cercar apenas três lados.

  • Se x é o comprimento de um lado perpendicular à parede do celeiro, ache a área cercada como função de x.
  • Qual o valor de x para que a área cercada seja máxima?
  • Qual o valor da área máxima?

Exercício 6

A água que está a esguichar de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal.

  • Se a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, a que distância horizontal do bocal irá atingir o solo?

 

Exercício 7

Considere um segmento AB de medida s . Diz-se que um ponto C , entre A e B, divide o segmento AB em média e extrema razão se [Maple Math] . Esta divisão também é chamada de divisão áurea.

  • Se x é o comprimento do segmento AC , mostre que x é solução da equação x2 = s2 - sx.

A figura abaixo ilustra o método geométrico, usado por Euclides, para dividir um segmento em média e extrema razão.

[Maple Plot]

  • Sabendo que ABDE é um quadrado de lado s, F é ponto médio de AE, a medida do segmento FD é igual à medida do segmento FG, e que a medida do segmento GE é igual à medida do segmento AC, mostre que a construção de Euclides está correcta.
  • Um rectângulo áureo é aquele cuja altura tem a medida do segmento áureo da base. Este tipo de rectângulo tem sido considerado por artistas e arquitectos como o rectângulo mais bem proporcionado e de grande valor estético.

    • Prove que o rectângulo ABHG, na figura acima é áureo.

 

Exercício 8

A parábola pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a uma recta fixa r e a um ponto fixo F são iguais. O ponto F chama-se foco da parábola e a recta r é a sua directriz. 

  • Deduza a equação da parábola no caso particular em que o foco é o ponto (0,1) e a directriz a recta y = -1 e trace o seu gráfico.
  • Deduza a equação da parábola com foco F = (0, α ) , com o eixo x perpendicular à directriz e o eixo y coincidindo com a mediatriz do segmento FF ', onde F ' é a projecção ortogonal de F sobre a directriz.
  • Considerando, separadamente, os casos a > 0 e a < 0, trace o gráfico da parábola cuja equação se deduziu no item anterior e responda às seguintes perguntas:
    • Em que semi-plano está contida esta parábola?
    • Qual o seu eixo de simetria?
    • Qual o seu vértice?
    • Qual a equação da recta directriz?
    • Em que condições esta equação define y como função de x?
  • Suponha agora que o foco da parábola seja o ponto F = (0, α). Deduza a equação da parábola no caso em que o eixo y é perpendicular à directriz e o eixo x coincide com a mediatriz do segmento FF '. Trace o seu gráfico e responda às mesmas perguntas do item anterior. 

Exercício 9

Considere o gráfico da função y = ax2 + bx + c. Já vimos que esse gráfico tem um vértice V de coordenadas
( [Maple Math] ).

  • Ache as coordenadas do ponto F que está 1/4a unidades directamente sobre V.
  • Ache a equação da recta horizontal L que está 1/4a unidades abaixo de V.
  • Considere um ponto P = (x , y). Ache as coordenadas do ponto D, pé da perpendicular de P sobre L.
  • Demonstre que P está sobre o gráfico de  y = ax2 + bx + c se, e só se, PF = PD. Assim o gráfico de y é uma parábola com foco F e directriz L.
  • Ache o foco e a directriz da parábola y = x2 - 4x + 4.

 

Exercício 10

Nas revistas especializadas, quando do lançamento de algum modelo novo de automóvel, vemos publicadas tabelas do tipo abaixo (teste de travagem), que relacionam a velocidade do automóvel com a distância percorrida até que o mesmo pare, após accionado o travão.

Velocidade (km/h) 40 60 80 100 120
Distância (m) 8,2 18,1 31,8 50,3 71,4

  • Segundo essa tabela, após o travão ser accionado, qual a distância percorrida por um automóvel que viaja a 70 km/h, antes que pare completamente?
  • Você pode deduzir, da tabela acima, a distância percorrida pelo automóvel em função da sua velocidade?
  • Usando o princípio de conservação da energia numa situação idealizada, deduza a distância que o automóvel percorre, depois do travão ser accionado, como função da velocidade que o automóvel desenvolvia no momento em que se começou a travar.
  • O Detran recomenda que se você viaja a 70 km/h, deve manter 50m de distância do carro da frente e se você viaja a 100 km/h essa distância deve ser de 100m. Esses dados concordam com o modelo deduzido anteriormente? Justifique a sua resposta.

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