Função Quadrática - Parábolas

 

A função f(x) = ax2 + bx + c

Como foi visto na Secção Conceito de Função, a função A(z) que fornece a área da região limitada pelas rectas y = x, y = 0 e x = z é dada por A(z) = (z2 / 2).

A função A(z) é um caso particular da função quadrática

(1) f(x) = ax2 + bx + c ,

onde a, b, c são constantes e a ≠ 0.

  • O que acontece quando a = 0?

Para tentar identificar as principais características das funções quadráticas, vamos completar o quadrado no lado direito de (1):

ax2 + bx + c = (x +b/2a)2×a - (b2/4a) + c

Para simplificar a expressão acima, vamos tomar α = b/2a e β = - b2/4a + c . Assim, f pode ser escrita como:

(2) f(x) = a(x + α)2 + β

Esta última formula permite-nos ter uma boa ideia do gráfico dessas funções.

Observe que o sinal da primeira parcela na adição acima depende apenas do sinal da constante a e que o menor valor de (x + α)2  é igual a zero e ocorre quando x = -α  . Daí, deduzimos que o gráfico da função terá um valor mínimo (se a > 0) ou um valor máximo (se a < 0) quando x + α = 0 isto é, para x = -α =  -b/2a. Além disso, o gráfico será simétrico em relação a esta recta.

O gráfico da função estudada terá a forma abaixo (caso a > 0).

[Maple Plot]

ou a forma abaixo (a < 0).

[Maple Plot]

  • Qual o domínio da função f(x) = ax2 + bx + c?
  • Qual a sua imagem ?

O valor máximo (ou mínimo) dessa função será então :

f(-b/2a) = β = -(b2/4a) + c = -(b2 - 4ac)/4a,

isto é, qualquer que seja x real temos que  f(x) < f(-b/2a) ou f(x) > f(-b/2a).

O gráfico dessa função é, portanto, uma parábola com vértice V = ( -b/2a, -Δ/4a) onde

Δ = b2 - 4ac

Os pontos onde o gráfico corta o eixo x são as raízes da equação f( x ) = 0 dadas por:

[Maple Math] e [Maple Math]

Se substituirmos, nestas duas últimas expressões, os valores de α  β, obteremos a conhecida fórmula, chamada fórmula resolvente ou fórmula de Bhaskara, para a determinação das raízes da equação do grau ax2 + bx + c:

[Maple Math] e [Maple Math]

Podemos concluir, também, que se Δ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas (a parábola corta o eixo x em dois pontos). Se Δ = 0, a equação terá uma raiz real (a parábola é tangente ao eixo x) e não existirão raízes reais, se Δ < 0 (a parábola não corta o eixo x). O número Δ determina, portanto, o número de raízes reais de uma equação do grau e, por este motivo, é chamado discriminante da equação.

Podemos, ainda, obter uma relação simples entre os coeficientes a , b e c de uma equação do grau e as suas raízes, da maneira explicada abaixo.

Sejam [Maple Math] e [Maple Math] as duas raízes da equação ax2 + bx + c, obtidas pela fórmula resolvente. A partir das expressões obtidas para x1 e x2, podemos calcular S = x1 + x2 e P = x1x2, isto é, podemos calcular a soma e o produto das raízes de uma equação do grau em termos dos coeficientes a, b e c. Vamos fazer essas contas.

Sejam [Maple Math] e [Maple Math]

Então, temos que S = x1 + x2 é igual a

[Maple Math]

Simplificando essa expressão, vem que:

S = -b/a

Da mesma maneira, temos que:

[Maple Math] = c/a

Usando as identidades S = -b/a e P = c/a obtidas acima, podemos reescrever a equação ax2 + bx + c , da maneira descrita a seguir. Considere a equação:

ax2 + bx + c = 0

Dividindo essa equação por a, a ≠ 0, temos que:

x2 + bx/a + c/a = 0

Substituindo os valores de S e P, nesta última expressão temos que:

x2 + Sx + P = 0

Esta última formula é chamada formula Soma-Produto da equação do grau e é útil na resolução de problemas onde se quer determinar dois números cuja soma e produto são conhecidos.

Como vimos, o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c representa uma parábola.

Ao considerarmos vários valores para a constante a , obteremos um conjunto ou família de parábolas.

Observe, abaixo, os gráficos da função f(x) = ax2 para a igual a 3 , 1 , 1/2 e -1 , respectivamente.

[Maple Plot]

  • O que acontece com o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c quando a constante a, varia?
    Para responder a essa pergunta, observe a animação abaixo .

[Maple Plot]

  • O que acontece quando a é positivo e se aproxima de zero? (A animação, abaixo, ilustra este caso.)

[Maple Plot]

  • E quando a é negativo e se aproxima de zero? (Antes de responder, observe a animação abaixo.)

[Maple Plot]

Abaixo, foram traçados os gráficos da função f(x) = ax2 + bx + c, para c igual a -50 , -20 , 0 , 20 e 50 , respectivamente.

[Maple Plot]

  • O que acontece com o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c , quando a constante c varia? Observe a animação abaixo para responder a esta pergunta.

[Maple Plot]

A animação abaixo, ilustra o que acontece quando, numa família de parábolas f(x) = ax2 + bx + c, a constante b, varia.

[Maple Plot]

Pode observar que, à medida que b varia, o vértice da parábola descreve uma curva.

  • Que curva é esta? ( Observe a animação abaixo para obter uma pista!)

[Maple Plot]

Para entender o que acontece na função f(x) = ax2 + bx + c quando b varia, vamos voltar a examinar esta função na sua forma factorizada, isto é  f(x) = a(x + α)2 + β.

Pelos exemplos anteriores, é fácil concluir o que acontece nesta família de parábolas quando a e β variam. Mas, o que acontece quando α varia? Observe a animação abaixo para responder a essa pergunta.

[Maple Plot]

  • O que acontece quando α e β variam em conjunto?

Substitua os valores de α e de β na expressão f(x) = a(x + α)2 + β para concluir o que acontece quando, na função f(x) = ax2 + bx + c, b varia.

Movimento parabólico

A partida de basket está empatada e o tempo regulamentar termina com a marcação de uma falta. O jogador prepara-se para marcar o lance livre que pode decidir a partida .

Observe abaixo o lançamento.

[Maple Plot]

Veja a trajectória perfeita a bola descreveu!

[Maple Plot]

  • Explique porque, sob certas condições, a trajectória descrita por um projéctil atirado da superfície da Terra em qualquer direcção não vertical, é uma parte de parábola.
  • Sob que condições ou hipóteses, a afirmação acima é verdadeira?
  • Você é capaz de deduzir a equação da parábola que descreve esse movimento?

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