O quadrado de uma soma

 

Podemos interpretar o produto xy de dois números como a área de um rectângulo cujos lados medem, respectivamente, x e y unidades de comprimento. Do mesmo modo, o quadrado de um número x pode ser entendido como a área de um quadrado cujo lado mede x unidades de comprimento. Assim, a identidade (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 pode ser enunciada da seguinte maneira: a área de um quadrado de lado x + y é igual à área de um quadrado de lado x, mais a área de um quadrado de lado y , mais a área de dois rectângulos de lados x e y. Esta interpretação geométrica é encontrada no livro "Os Elementos  de Euclides" e é ilustrada pela figura abaixo:

[Maple Plot]

Para obtermos a fórmula que fornece as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 foi necessário completar o quadrado da expressão ax2 + bx + c , isto é, transformar o lado esquerdo da equação no quadrado de uma soma.

Vamos usar a interpretação geométrica do quadrado de uma soma, dada acima, para entender a origem e o significado da expressão "completar o quadrado".

A equação ax2 + bx + c = 0 é equivalente a ax2 + bx  = - c. Multiplicando os dois membros dessa última equação por 4a, obtemos:

4a(ax2 + bx) = -4ac

Expandindo o primeiro membro da equação anterior, temos:

4a2x2 + 4abx = -4ac

O lado esquerdo da equação acima pode ser interpretado como a soma da área de um quadrado de lado 2 ax com a área de dois rectângulos de lados b e 2 ax, conforme é ilustrado na figura abaixo:

[Maple Plot]

Para "completarmos o quadrado" acima, falta adicionar à expressão 4a2x2 + 4abx  a área de um quadrado de lado b. Portanto, adicionando  b2  aos dois membros da equação 4a2x2 + 4abx = -4ac , obtemos:

4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2

Agora, o lado esquerdo da equação acima representa a área de um quadrado de lado 2ax + b, conforme ilustrado na figura anterior, isto é:

(2ax + b)2 = -4ac +  b2  

Se b2 - 4ac for maior ou igual a zero, podemos extrair a raiz quadrada dos dois membros da equação anterior e, então, obteremos a expressão que fornece as raízes da equação original (fórmula resolvente.

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