Coordenadas no Plano

 

Já sabemos,  como funciona um sistema de coordenadas sobre uma recta. Uma vez estabelecido um sistema de coordenadas sobre uma recta, a cada ponto corresponde um número e a cada número corresponde um ponto. Faremos o mesmo num plano. Nesse caso, a um ponto corresponderá não um único número, mas um par de números. Essa correspondência será feita da maneira descrita a seguir.

Primeiro fixamos uma recta x no plano e estabelecemos um sistema de coordenadas sobre x . Esta recta será chamada eixo x ou eixo das abcissas. Seja agora, y a recta perpendicular ao eixo x passando no ponto de coordenada 0. Sobre y fixamos um sistema de coordenadas de tal modo que o ponto zero de y coincida com o ponto zero de x . A recta y será chamada eixo y ou eixo das ordenadas.

Podemos, agora, identificar qualquer ponto do plano com um par de números reais da seguinte maneira: a coordenada x ou abcissa de um ponto P é a coordenada, no eixo x , do pé da perpendicular a este eixo passando por P e a coordenada y ou ordenada de P é a coordenada, no eixo y, do pé da perpendicular a este eixo passando por P. Se P tem coordenadas x e y escrevemos P(x, y) . Veja o exemplo abaixo:

[Maple Plot]

Observe que a ordem pela qual as coordenadas são escritas é importante. O ponto de coordenadas (1, 3) é P1 e este ponto é diferente do ponto P de coordenadas (3, 1) = (x, y), mostrados na figura acima. Assim, as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais.

Pelo esquema, todo ponto P determina um par ordenado de números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais (a, b) determina um ponto do plano. Temos então uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Uma correspondência desse tipo é chamada sistema de coordenadas no plano.

  • O que é necessário para estabelecer um sistema de coordenadas no plano? Os eixos x e y precisam necessariamente ser perpendiculares?

  • É necessário indicar a escala usada ?

O eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, usualmente colocados na posição indicada na figura anterior, dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados no esquema abaixo pelos símbolos i , ii, iii, iv respectivamente:

[Maple Plot]

 

De acordo com a figura acima, o primeiro quadrante é o conjunto de todos os pontos (x , y) do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto de todos os pontos (x , y)  do plano para os quais x < 0 e y > 0 e assim por diante.

Como a correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais é biunívoca, em geral, referimo- nos a um ponto P como o ponto (1, 2) ou o ponto (x , y) quando, na realidade, queremos referir-nos ao ponto P cujas coordenadas são (1, 2) ou (x , y). Assim, quando escrevemos P = (x, y) significa, que nos estamos a referir ao ponto P cujas coordenadas são dadas, de modo único , pelo par ordenado (x , y) de números reais.

 

Distância entre dois pontos do plano

A distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)  no plano é representada por  P1P2 e definida pela fórmula

[Maple Math]

Esta fórmula é facilmente justificada pela Geometria Plana se observarmos que P1P2 é a medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo cujos catetos medem | x2 - x1 | e | y2 - y1 | , como mostra a figura abaixo.

[Maple Plot]

  • Que Teorema garante a validade dessa fórmula?

  • O que acontece quando x2 = x1 ou quando  y2 = y?

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