Exercícios

Exercício 1

Considere um sistema de coordenadas na recta. Suponha que 3 é adicionado à coordenada de cada ponto sendo então obtido um novo número associado a cada ponto.

  • Se P tem coordenada 5, qual será o seu novo número?
  • Se dois pontos da recta têm coordenadas a e b, quais serão seus novos números?
  • Expresse matematicamente a correspondência que a cada ponto P de coordenada x associa o seu novo número.
  • Cada ponto da recta corresponderá a um novo número? Cada novo número corresponderá a um ponto da recta?
  • Sejam a e b os novos números de dois pontos P e Q de coordenadas x e y respectivamente. Mostre que a distância PQ é dada por | a - b |.
  • Essa nova correspondência entre pontos e números satisfaz as três condições do Postulado da Régua? Pode cada novo número ser chamado de coordenada de um ponto?

Exercício 2

Refaça o exercício anterior supondo que o novo número é obtido multiplicando-se por um número k , distinto de zero, a coordenada de cada ponto.

 

Exercício 3

Calcule os valores de t para que o ponto P , de coordenadas (2t+4, 3-2t), esteja:

  • ( a ) No primeiro quadrante.
  • ( b ) No quarto quadrante.
  • ( c ) Sobre os eixos.

Exercício 4

As duas rectas traçadas abaixo representam a mesma função y = (x / 4)

  • Porque é que as figuras traçadas "parecem" diferentes? O que se pode concluir?

[Maple Plot]

[Maple Plot]

 

Exercício 5

Ao escavarem as ruínas de uma antiga civilização, uma equipa de arqueólogos descobriu peças de duas réguas antigas marcadas com conhecidos símbolos numéricos, mas cada uma usando uma unidade diferente de medida. Eles chamaram uma das escalas de "escala Zê" porque na régua estava gravado um símbolo semelhante a um " Z ". Após experimentar um pouco as duas réguas, eles descobriram que um quadrado cujo lado tinha comprimento de 1 zê tinha uma diagonal cujo comprimento era a unidade da outra escala. Portanto eles chamaram a essa outra escala "escala Diag". Pelo teorema de Pitágoras para triângulos rectângulos, eles sabiam que 1 diag = 2 zês.

  • Qual é a medida em zês, de um segmento cuja medida em diags, é 1? 2? n?
  • Faça uma tabela de conversão de diags em zês, para valores inteiros até 10 diags.
  • Qual a medida em diags, de um segmento cuja medida em zês é 1? 4? n?
  • Faça uma tabela de conversão de zês em diags, para valores inteiros até 10 zês?

 

Exercício 6

 

Num sistema de coordenadas qualquer, os eixos x e y formam um ângulo, não nulo, α ≠ 90o .

  • Como podemos definir as coordenadas de um ponto P nesse sistema?
  • Se P1(x1, y1) e P2(x2, y2)  qual a distância P1P2 nesse novo sistema?

 

Exercício 7

Se tomarmos uma recta perpendicular aos eixos x e y na intersecção de ambos, poderemos fixar um sistema de coordenadas no espaço. Neste sistema, temos uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e as triplas ordenadas de números reais. A projecção ortogonal de um ponto num eixo é a coordenada deste ponto naquele eixo. Assim, um ponto fica completamente determinado pelas suas três coordenadas e escrevemos P(x, y, z) .

  • P é um ponto do plano xy . A sua projecção no eixo x é 2 e no eixo y é 3. Quais são as suas coordenadas?
  • Se P1 é um ponto qualquer no plano yz , escreva as suas coordenadas como uma tripla ordenada de números reais.
  • Sobre que eixo está cada um dos pontos: A(0, 3, 0), B(-2, 0, 0), C(0, 0, 5) ?
  • Sobre que plano está cada um dos pontos: R(4, 0, 2), S(3, -2, 0), T(0, 1, 5) ?
  • Se P' é a projecção de P(2, 3, 4) no plano xy , quais as coordenadas de P' ?
  • Qual a distância do ponto (3, 2, -2)  ao plano xy ? ao plano xz ? ao plano yz ?
  • Responda ao item anterior para o ponto (x , y , z), onde x , y , z são números reais quaisquer.
  • Qual a distância do ponto P1(x1, y1, z1) ao ponto P2(x2, y2, z3) ?
  • Quais as coordenadas do ponto médio do segmento que liga o pontos P1 e P2 ?
 

Exercício 8

A figura abaixo foi traçada ligando-se os pontos (0, 3), (1, 2), (3, 2), (5, 3), (6, 2), (6, 5), (5,4), (3,5),
 (1, 5), (0, 4), (0.5, 3.5), (0, 3
) por segmentos de recta e marcando-se o ponto (1, 4) por um pequeno losango.

[Maple Plot]

No desenho abaixo, cada um dos pontos (x, y) usados para traçar a figura original, em vermelho, foi substituído por (-x, y) . Repare que o peixinho original aparece, após essa substituição, reflectido em relação ao eixo y .

[Maple Plot]

Esta transformação, portanto, corresponde a uma reflexão em relação à recta x=0.

  • Que substituição deverá ser feita nos pontos usados para traçar o peixinho, para que ele apareça reflectido em relação ao eixo x , como mostra o desenho abaixo?

[Maple Plot]

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