Outros Sistemas de Coordenadas

 

A ideia básica da Geometria Analítica é a representação de pontos do plano ou do espaço por meio de conjuntos de números reais denominados coordenadas. Um ponto qualquer do plano, como já vimos na secção anterior, terá a sua posição perfeitamente determinada por meio de um par ordenado de números reais que representam medidas das distâncias a dois eixos orientados, um deles vertical e o outro horizontal.

Tal sistema não é novo a quem está habituado a localizar uma cidade no mapa. O eixo "vertical" , nesse caso, é o meridiano que passa por Greenwich, e o "horizontal" é o Equador; as coordenadas, então, serão constituídas pelo par de números que definem a latitude e a longitude do lugar. O jogo conhecido como "Batalha Naval" é outro exemplo de uso de um sistema de coordenadas.

Na antiguidade, os egípcios já utilizavam tal sistema de referência nos seus projectos e construções de templos e pirâmides. Os agrimensores romanos, para os seus cálculos, dividiam os campos por meio de linhas rectas paralelas entre si, perpendiculares a uma linha de referência que denominavam "linae ordinatae" (linha ordenada).

No século XVII, surgiram os primeiros ensaios sistemáticos sobre Geometria Analítica. Os Seus autores foram Pierre Fermat e René Descartes. Fermat, retomando a ideia dos construtores egípcios, refere-se  a um ponto do plano por meio de um par de rectas perpendiculares entre si. Este sistema, apesar de ter sido introduzido por Fermat, recebeu o nome de "Sistema Cartesiano " em homenagem a Descartes, que assinava o seu nome em latim: Cartesius.

Existem muitos outros sistemas de coordenadas, além do cartesiano, cada um para determinado propósito. Um deles, muito utilizado, é o sistema polar ou sistema de coordenadas polares.

No sistema polar, a localização de um ponto P, do plano, fica perfeitamente determinada se conhecermos a sua distância r a um ponto fixo O , chamado pólo ou origem do sistema, e a medida do ângulo θ que o segmento OP faz com uma recta fixa, chamada eixo polar. Neste caso, as coordenadas do ponto P serão dadas pelo par ordenado de números reais (r, θ) conforme mostra a figura abaixo:

[Maple Plot]

Repare que, no sistema de coordenadas cartesianas, as distâncias são medidas a partir de rectas paralelas aos eixos coordenados. Para isso, usamos uma malha quadriculada ou reticulada, como mostrada abaixo:

[Maple Plot]

No sistema de coordenadas polares, a distância r é medida a partir de circunferências concêntricas, centradas no pólo (todos os pontos sobre cada uma dessas circunferências estão à mesma distância do pólo) e o ângulo θ, a partir de raios com origem no pólo (todos os pontos sobre cada um desses raios fazem o mesmo ângulo com o eixo polar). Veja a figura abaixo:

[Maple Plot]

Um exemplo de aplicação dos gráficos em coordenadas polares encontra-se na localização, por radares de navios em alto mar.

Em Geometria do Plano aprendemos que uma circunferência de centro C e raio r é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância a C é igual a r . Isto é, um ponto P pertence a circunferência se PC = r . A figura abaixo, mostra o gráfico da circunferência de centro no ponto (1,1) e raio 1 :

[Maple Plot]

Usando a definição de distância entre dois pontos do plano, é possível expressar a condição que define uma circunferência qualquer, por meio de uma equação matemática. Assim, uma circunferência de centro na origem e raio um será o conjunto de todos os pontos (x , y) do plano que satisfazem a seguinte equação cartesiana:

ou equivalentemente

x2 + y2 = 1

e o seu gráfico, o subconjunto do plano onde esta equação é satisfeita por todos os seus pontos e por nenhum outro.

  • Deduza a equação cartesiana satisfeita por todos os pontos da circunferência de centro em (a , b) e raio r .

As equações acima são ditas equações cartesianas porque são deduzidas usando-se o sistema de coordenadas cartesianas.

Algumas curvas têm uma expressão bastante complicada quando a mesma é expressa em coordenadas cartesianas, ao passo que, em coordenadas polares, tal equação apresenta uma simplicidade notável. A curva cuja equação cartesiana é dada por (x2 + y2)2 - (x2 -y2)2 = 0  é chamada de lemniscata de Bernouilli. Quando expressa em coordenadas polares, a equação acima toma a forma mais simples r2 = cos(2, θ) . Veja, abaixo, o seu gráfico:

[Maple Plot]

  • Usando a definição geométrica de circunferência, ache a equação polar da circunferência de centro no pólo e raio 1.
  • Ache a equação da bissectriz do primeiro e terceiro quadrantes em coordenadas polares. Considere o eixo polar coincidindo com o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas.

A Geometria desenvolvida pelos antigos gregos é tão correcta hoje quanto o foi há dois mil anos atrás. O primeiro grande avanço na Geometria, depois dos gregos, foi o estabelecimento dos sistemas coordenados que permitiu o desenvolvimento da Geometria Analítica.

O desenvolvimento dos sistemas coordenados e, consequentemente, da Geometria Analítica, tornou possível o estabelecimento de uma correspondência entre uma equação algébrica envolvendo duas variáveis e a curva plana consistindo de todos os pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem a equação dada, como fizemos, acima, no caso da circunferência e da lemniscata. Desse modo, é possível explorar as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria que, a partir do século XVII, passaram a  desenvolver-se juntas, com vantagens para ambas. Uma dessas vantagens evidentes é a simplificação da demonstração de muitos teoremas de Geometria. O exercício abaixo tenta evidenciar este facto.

  • Demonstre o teorema, enunciado a seguir, usando:

     

    • ( a ) somente resultados de Geometria Euclidiana Plana.
    • ( b ) estabelecendo um sistema de coordenadas cartesianas e usando resultados da Geometria Analítica.

Teorema da Concorrência das Medianas : As medianas de um triângulo são concorrentes. O ponto de concorrência está a dois terços ao longo de cada mediana a partir do seu vértice.

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