Postulado da Régua

 

Os pontos de uma recta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, isto é:

  • A cada ponto da recta corresponde exactamente um número real.

  • A cada número real corresponde exactamente um ponto da recta.

A distância entre dois pontos quaisquer é definida como o valor absoluto da diferença dos números reais a eles associados.

Uma correspondência do tipo descrito acima é chamada sistema de coordenadas . O número correspondente a um dado ponto é dito a coordenada desse ponto.

Usualmente, para definir um sistema de coordenadas na recta, escolhemos um dos seus pontos como a origem do sistema. A este ponto, normalmente denotado pela letra O , é associado o número zero, que será a sua coordenada. Tendo-se fixado uma unidade de medida, a coordenada de cada ponto P, da recta, é determinada pela medida do segmento OP. Se, conforme a figura abaixo, o ponto S está à direita da origem, sua coordenada será x1 = OS  e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto P está à esquerda de O , sua coordenada será dada por x2 = -OP logo, negativa.

[Maple Plot]

Se a correspondência entre os números reais e os pontos da recta é feita da maneira descrita acima, a distância entre dois pontos quaisquer P e S de coordenadas x2 e x1 , respectivamente, é dada por 
PS = |x2 - x1 e essa fórmula é independente da posição relativa dos pontos P e S . Dessa maneira, fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e os pontos da recta que satisfaz as três condições impostas pelo Postulado da Régua.

No exemplo abaixo, a coordenada de P é -4, a coordenada de Q é -2 e assim por diante.

[Maple Plot]

  • Qual a distância PS ?

  • Se a coordenada de um ponto M é x e a coordenada de N é y , quanto vale a distância MN ?

  • Quantos números reais existem ? Como você pode saber isso ?

  • Isso diz-lhe algo sobre o número de pontos de uma recta? Quantos pontos tem uma recta?

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