A função de Euler

 

O círculo trigonométrico unitário S1 é, por definição, a circunferência de centro na origem e raio 1, orientada no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. A função de Euler é definida no conjunto dos números reais e a sua imagem é o círculo trigonométrico S1. Isto é, a cada número real t, a função E faz corresponder um ponto E(t) do círculo trigonométrico da seguinte maneira: dado um número real t > 0, medimos em S1 , a partir do ponto (1,0), um arco de comprimento t , sempre percorrendo o círculo no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. A extremidade final deste arco é um ponto (x, y) de S1, que definiremos como E(t). Para -t < 0 , E(-t) será a extremidade final de um arco de comprimento t, medido a partir de (1,0), no sentido negativo de S1 (isto é no sentido dos ponteiros do relógio). Veja os gráficos abaixo.

[Maple Plot][Maple Plot]

Uma propriedade importante da função E(t) é a sua periodicidade.

Dizemos que uma função é periódica de período T , quando f(t + T) = f(t), para todo t.

Como o comprimento de S1 é 2π, quando t > 2π ou t < -2π para descrevermos um arco de comprimento t, a partir do ponto (1,0), teremos que dar mais de uma volta ao longo de S1. Observe a animação abaixo:

[Maple Plot]

Em particular, quando k é um inteiro, as extremidades finais dos arcos de comprimento t = 2kπ coincidirão sempre com o ponto (1,0). Isto implica que, qualquer que seja o número real t e o inteiro k , teremos

E(t + 2kπ) = E(t)

e portanto, a função E(t) é periódica de período 2π. É claro que qualquer outro múltiplo inteiro de 2π também é um período para essa função.

As funções periódicas são o instrumento matemático adequado para descrever fenómenos periódicos (movimento planetário, vibração de cordas e membranas, oscilações de um pêndulo, etc.).

A partir da função E(t) podemos obter funções com qualquer período.

A transição da definição de seno e co-seno de um ângulo para a definição de seno e co-seno de um número real é feita por meio da função de Euler.

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