Exercícios

Exercício 1

Um guarda florestal previne incêndios de uma torre construída numa colina. O local da torre está 726 metros acima da terra à sua volta e a torre, em si, tem 24 metros de altura.

  • Se o guarda vê um incêndio, sob um ângulo de 7o em relação à horizontal, a que distância está o incêndio da torre?

Exercício 2

Um avião aproxima-se de um aeroporto a uma altura de 7.000 m. O piloto tem ordens de descer sob um ângulo constante de 6o, durante a aterragem.

  • Supondo que o aeroporto está ao nível do mar, a que distância da pista, deve o piloto começar a descida?

Exercício 3

  • Defina as funções seno e co-seno utilizando um círculo com raio r ≠ 1.
  • Considere um ponto P sobre uma circunferência de raio a ≠ 1. Estabeleça as coordenadas (x, y) de P, em termos do ângulo central θ, conforme mostra a figura abaixo:

[Maple Plot]

Exercício 4

  • Qual a relação existente entre sin(x + 2π) e sin(x)?
  • E entre cos(x + 2π) e cos(x)?
  • Se k é um número inteiro qualquer, qual a relação existente entre sin(x + 2kπ) e sin(x)?
  • E entre cos(x + 2kπ) e cos(x)?

 

Exercício 5

Na figura abaixo, o círculo é unitário e temos θ = AÔB, Φ = BÔC = AÔD.

[Maple Plot]

  • Qual a relação entre os triângulos AÔC e BÔD?
  • Determine a medida de BD, em função das coordenadas de B e D.
  • Determine a medida de AC, em função das coordenadas de A e C.
  • Qual a relação entre a medida de BD e a medida de AC?
  • Use os itens anteriores e as propriedades já obtidas para as funções seno e co-seno, para obter as fórmulas para cos(θ + Φ) e sin(θ + Φ).
  • Use essas fórmulas para obter tg(θ + Φ).
  • Conhecendo-se os valores das funções trigonométricas em 30, 45 e 60 graus, determine os valores de sin(75), cos(15)sin(225) e tg(210), onde todos os ângulos são medidos em graus.
 

Exercício 6

Quer-se construir uma escada de incêndio em redor de um edifício em forma de um prisma de base quadrada com 64 m2 de área e altura de 40 m. A escada deve circundar o prédio e atingir a cobertura mantendo uma inclinação constante de 30o em relação ao chão.

  • Qual o comprimento total dessa escada?
  • Qual deve ser o ângulo de inclinação para que a escada atinja a cobertura, passando uma só vez por cada face do prédio?

 

Exercício 7

Quer-se construir agora, uma escada ao redor de um silo de forma cilíndrica com 20 m de altura e raio da base igual a 5 m.

  • Calcule o ângulo de inclinação da escada em relação ao chão, para que ela atinja o topo do cilindro após rodeá-lo uma única vez.
  • Qual o comprimento dessa escada?
  • Qual o ângulo de inclinação da escada em relação ao solo para que ela atinja o topo do cilindro rodeando-o exactamente duas vezes?
  • Calcule o comprimento total de uma escada que atinja o topo do silo mantendo uma inclinação constante de 10o em relação à horizontal. Quantas voltas, aproximadamente, são necessárias para que esta escada atinja o topo do silo?

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