Um pouco de história das Funções Trigonométricas

 

Um medidor quer medir a distância entre dois pontos opostos de um lago, como é ilustrado na figura abaixo.

Ele não pode medir AB directamente, mas pode medir CB e o ângulo τ .

  • Como determinar, a partir desses dados, a medida de AB ?

Este problema é equivalente ao de determinar os catetos de um triângulo rectângulo, conhecidos um dos seus ângulos agudos e a hipotenusa.

O problema da "resolução de triângulos", que consiste em determinar os seis elementos de um triângulo (3 lados e 3 ângulos) quando se conhece 3 deles, motivou, há mais de dois mil anos, o desenvolvimento da Trigonometria (do grego: trígono= triângulo e métron=medida).

O Problema da Navegação

Na antiguidade, o transporte e a comunicação por via terrestre envolviam enormes dificuldades, pois as vias de acesso entre as localidades eram más. Para percorrer grandes distâncias, era bem mais fácil, portanto, estabelecer rotas marítimas. A partir da necessidade de se navegar em alto mar, surgiu o problema básico da navegação: o de se determinar a posição de um navio em alto mar.

Os navegantes gregos, que por volta do século V A.C. já tinham absorvido boa parte dos conhecimentos astronómicos dos babilónios, foram os primeiros a formular o conceito de latitude.

Para os navegantes no hemisfério norte, a latitude de um lugar é o ângulo formado pela Estrela Polar e o horizonte, naquele ponto. A latitude de uma pessoa no Pólo Norte é de 90o, pois, nesse ponto, a Estrela Polar está directamente sobre a sua cabeça (na realidade, existe um pequeno desvio angular, pois a Estrela Polar não se encontra exactamente sobre o Pólo Norte). Navegando para o norte, a cada noite, um observador veria essa estrela colocar-se cada vez mais alto no céu. Navegando para o sul, aconteceria o contrário. Medindo a elevação angular da Estrela Polar, um marinheiro poderia obter uma medida aproximada da distância para o sul ou para o norte.

No Hemisfério Sul, a determinação da latitude de um lugar pode ser feita, da mesma maneira, medindo-se a elevação angular da estrela chamada Sigma Oitante.

No entanto, para determinarmos a posição de um ponto no globo terrestre é necessário, além da latitude, que determina a posição Norte-Sul desse ponto, a determinação da sua longitude, que indica a direcção Leste-Oeste.

Os Alexandrinos sabiam que um navegador poderia medir a longitude, transportando a bordo de seu navio um relógio preciso. O relógio, acertado para a hora local de Alexandria, indicaria ao navegador a hora naquela cidade, durante toda a sua viagem. Como a Terra descreve uma rotação completa (360o) em 24h, gira 15o, a cada hora. Assim, o navegador poderia determinar a sua longitude em qualquer lugar do planeta, simplesmente pela leitura das horas do relógio, quando o Sol incidisse directamente sobre a sua cabeça. A sua longitude em relação a Alexandria seria o produto de 15o pela diferença, em horas, entre o meio dia e o tempo local de Alexandria, fornecido pelo relógio.

Infelizmente, não havia relógios portáteis, à disposição dos alexandrinos, que fossem suficientemente precisos para manter um registro contínuo das horas, durante uma longa viagem. As dificuldades práticas para a determinação da longitude eram tão grandes, que este dado deixou de ser levado em consideração na prática da navegação, durante um grande período.

As primeiras Noções de Trigonometria

Tentando resolver o problema da navegação, os gregos interessaram-se também, em determinar o raio da Terra e a distância da Terra à Lua. Este último problema implicou o surgimento das primeiras noções de Trigonometria.

O primeiro cálculo da circunferência da Terra foi realizado por Eratóstenes (250 A.C.), o bibliotecário de Alexandria. Os seus cálculos dependiam do ângulo formado pela sombra do Sol e pela vertical em dois pontos: um ao norte e outro ao sul.

Eratóstenes sabia que Alexandria, ponto A na figura abaixo, ficava a 800 km da cidade hoje chamada de Assuã, ponto B e, portanto, esta era a medida do arco AB na figura. Ele também sabia que em 21 de Junho, solstício de Verão no hemisfério Norte, ao meio dia em Assuã, o Sol incidia directamente sobre as suas cabeças, junto à primeira catarata do Nilo. Portanto, os seus raios formavam um ângulo de zero graus com a vertical, não produzindo sombra. No mesmo instante, os raios do Sol formavam um ângulo de 7  1/2 graus com a vertical, em Alexandria.

Devido à grande distância do Sol, ao atingirem a Terra, os raios do Sol poderiam ser considerados paralelos e, portanto, os ângulos AÔB e DÂS são iguais, conforme mostra a figura abaixo:

Como o ângulo formado no centro da Terra pelas linhas que partiam de Assuã e de Alexandria, era igual a 7  1/2 graus, calcular o raio da Terra era equivalente a resolver a seguinte proporção [Maple Math] , uma vez que a circunferência inteira da Terra mede 360o.

O cálculo, feito por Eratóstenes, para a circunferência da Terra - 38400 km - foi um resultado fantástico se considerarmos que, muito tempo depois, na época de Colombo, os mais reputados geógrafos acreditavam que o valor correcto para a circunferência da Terra era cerca de 27200 km. De facto, se Colombo conhecesse uma estimativa melhor (cerca de 39840 km), talvez nunca tivesse arriscado viajar para a Índia!

O raio da Terra pode ser estimado dividindo-se o comprimento da sua circunferência por 2π (aproximadamente igual a 6,28).

Hiparco adoptava para o raio da Terra o valor de 8 800 km (o raio terrestre mede cerca de 6378 km). De posse desse valor, Hiparco tentou achar a distância da Terra à Lua da maneira descrita a seguir.

Suponhamos que a Lua seja observada de dois pontos C e E, conforme mostra a figura abaixo:

Quando estiver directamente sobre o ponto E, um observador em C vê a Lua nascer no horizonte. Conhecendo a localização dos pontos C e E, Hiparco estimou a medida do ângulo Â. Como a distância AC é igual ao raio da Terra, o problema de Hiparco era o seguinte: conhecidos um dos lados (8 800 km) de um triângulo rectângulo e um de seus ângulos (Â), determinar a hipotenusa AB.

Tal problema pode ser resolvido se observarmos que em triângulos rectângulos semelhantes as razões, constantes, entre as medidas dos seus lados podem ser associadas aos seus ângulos. Estas razões são chamadas razões trigonométricas. Hiparco organizou diversas tabelas relacionando razões trigonométricas com ângulos.

As relações trigonométricas num triângulo rectângulo, que estudaremos a seguir, constituíram um avanço no estudo das relações métricas nos triângulos porque estas, estabelecem fórmulas que relacionam entre si, medidas de segmentos, enquanto que as razões trigonométricas relacionam medidas de ângulos com medidas de segmentos (lados dos triângulos).

voltar ao início