As funções trigonométricas Inversas

 

Muitas obras de arte, expostas em museus, precisam ser protegidas por medidas de segurança especiais para impedir actos de vandalismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento paralela à parede onde um quadro famoso está exposto.

Calcule o ângulo α de visão de um observador junto à corda, em função da distância x da corda à parede. Considere que a altura média (a) dos visitantes é de 1,70 m, a distância da base do quadro ao solo (b) é de 2,70 m e que a altura do quadro (c) é de 3 m, conforme mostra o esquema abaixo.

[Maple Plot]

Este cálculo é importante para se determinar a distância da corda de isolamento que permite um ângulo máximo de visão ao observador.

Em muitas situações práticas, como a do problema anterior, é necessário determinar o valor de um ângulo, sabendo-se o valor do seu seno, ou do seu co-seno ou a da sua tangente isto é, conhecendo-se x, achar α tal que, por exemplo, sin(α) = x. Isto equivale a achar uma função g tal que g(x) = α ou seja, precisamos calcular as funções inversas de funções trigonométricas.

  • Definidas em toda recta, as funções trigonométricas são biunívocas?

A função arcsin(x)

A função sin(x) tem uma inversa que se chama arco-seno (arcsin). Assim

y = arcsin(x) <=> x = sin(y)

O domínio da função arco-seno é [-1, 1] .

Observe, abaixo, o gráfico da função arcsin(x).

Este gráfico pode ser obtido a partir do gráfico da função sin(x).

A função arccos(x)

A função cos(x) tem uma inversa que se chama  arco co-seno (arccos). Assim

y = arcsin(x) <=> x = sin(y)

O domínio da função arco co-seno é [-1, 1] .

Observe, abaixo, o gráfico da função arccos(x).

A função arctg(x)

A função tg(x) tem uma inversa que se chama arco tangente (arctg). Assim

y = arctg(x) <=> x = tg(y)

O domínio da função arctg é IR

Observe, abaixo, o gráfico da função [Maple Math] .

Este gráfico pode ser obtido a partir do gráfico da função tg(x).

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