As funções Seno e Co-Seno

 

Vimos que a função E(t), definida na Secção Função de Euler associa a cada número real t, um ponto (x,y) do círculo trigonométrico S1, isto é E(t) = (x,y), onde x2 + y2 = 1. Definimos cos t como sendo a abcissa do ponto E(t) e sen t como a sua ordenada, ou seja:

cos t = x

sen t = y

como mostrado na figura abaixo:

[Maple Plot]

Todas as propriedades das funções seno e co-seno decorrem dessa definição.

A definição da medida de um ângulo em radianos permite estabelecer a ligação entre seno e co-seno de um número real e de seno e co-seno de um ângulo. Assim, quando o número real t está entre 0 e π/2, então cos t = cos α e sen  t = sen α , onde α é o ângulo cuja medida, em radianos, é t.

As funções seno e co-seno adquiriram uma importância especial na matemática, a partir do século passado, quando o matemático francês Joseph Fourier, estudando o fenómeno da transmissão do calor, mostrou que qualquer função, sob determinadas hipóteses razoáveis, pode ser obtida como o limite de uma série cujos termos são senos e/ou co-senos. Este facto fundamentou o desenvolvimento de um ramo da matemática, hoje chamado Análise Harmónica.

 

Propriedades principais e outras funções trigonométricas

Na figura abaixo, estão marcados os ângulos AÔB, AÔC, AÔD, AÔE. Em função das coordenadas dos pontos B, C, D, E, podemos tirar conclusões acerca dos sinais das funções seno e co-seno.

[Maple Plot]

1.º Quadrante 2.º Quadrante 3.º Quadrante 4.º Quadrante
seno + + - -
co-seno + - - +
 

Podemos também concluir que para qualquer ângulo Ф, sin(Ф) = - sin(-Ф) e cos(Ф) = cos(-Ф).

 

Considere agora um círculo unitário, e seja A o seu ponto de intersecção com o sentido positivo do eixo das abcissas e B um ponto qualquer sobre ele.  

[Maple Plot]

 Seja θ = AÔB. Para  cos(θ)≠ 0, define-se a tangente do ângulo θ, como 

[Maple Math] = AT

  • Se o círculo não for unitário, este valor muda? Por quê?

Consideremos ainda na figura acima o ângulo θ = AÔB.

Na figura abaixo, θ = AÔB e Φ = AÔC. Suponha ainda que o círculo seja unitário 
e que
θ + Φ = π/2.

[Maple Plot]

Então podemos concluir que:

 sin(θ) = cos(Φ)

sin(Φ) = cos(θ)

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